微积分数学基础公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

1 导数概念1第1页第1页1.变速运动速度第一节 导数概念一、改变率问题举例2第2页第2页3第3页第3页4第4页第4页2.切线问题5第5页第5页6第6页第6页上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值改变量与自变量改变量之比,在当后者无限趋于零时极限.另外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型极限,这些量详细意义，抓住它们在数量关系上共性,便得出函数导数概念.7第7页第7页二、导数定义8第8页第8页9第9页第9页10第10页第10页11第11页第11页关于导数阐明：关于导数阐明：12第12页第12页三、由定义求导数:环节环节:例例1 1解解:13第13页第13页解14第14页第14页15第15页第15页解16第16页第16页解17第17页第17页解18第18页第18页四导数意义1 几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为19第19页第19页2 简朴物理意义简朴物理意义1 1）变速直线运动中：）变速直线运动中：路程对时间导数为物体瞬时路程对时间导数为物体瞬时速度速度.20第20页第20页2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间导数为电流强度电量对时间导数为电流强度.21第21页第21页2、熟记下列导数公式：、熟记下列导数公式：（1）（C)=0（2）(3)（4）（5）22第22页第22页2 求导法则求导法则23第23页第23页解24第24页第24页推论推论例例1 1解解25第25页第25页例例2 2解解定理定理426第26页第26页例例3 3解解同理可得同理可得27第27页第27页例例1 1解解:先求运动方向先求运动方向28第28页第28页再求速度大小再求速度大小29第29页第29页定定 积积 分分30第30页第30页一、问题提出一、问题提出1.曲边梯形面积曲边梯形面积设设 y=f(x)为区间为区间a,b 上上连续函数，且连续函数，且f(x)0，由，由曲线曲线 y=f(x)，直线，直线 x=a，x=by=0 所围成图形称为所围成图形称为曲边梯形。曲边梯形。下面讨论曲边梯形面积下面讨论曲边梯形面积31第31页第31页对于多边形面积，我们对于多边形面积，我们在中学就已经会计算了，在中学就已经会计算了，比如比如矩形面积矩形面积=底底高高显然，曲边梯形面积不能显然，曲边梯形面积不能用这个公式来计算。用这个公式来计算。直与曲直与曲不变与变不变与变32第32页第32页砖是直边砖是直边长方体长方体烟囱截面是烟囱截面是弯曲圆弯曲圆“直砖直砖”砌成砌成了了“弯圆弯圆”局部以直代曲局部以直代曲33第33页第33页abxyoabxyo 即使曲边梯形准确面积我们不会计算，但是我即使曲边梯形准确面积我们不会计算，但是我们能够用一些小矩形来近似算出它面积。们能够用一些小矩形来近似算出它面积。（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）从中能够得到一个什么样启示？从中能够得到一个什么样启示？34第34页第34页小曲边梯形底：小曲边梯形底：小曲边梯形高：小曲边梯形高：小曲边梯形面积：小曲边梯形面积：35第35页第35页 分割分割用任意一组分点：用任意一组分点：把把 a,b 分成分成 n 个小区个小区间间 xi-1,xi i=1,2,n相应地把曲边梯形分为相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分个小曲边梯形，其面积分别记为别记为Si i=1,2,n（化整为零）（化整为零）36第36页第36页 近似代替近似代替在每个小区间在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点上任取一点i，其中其中（曲转化为直）（曲转化为直）于是小曲边梯形面积于是小曲边梯形面积37第37页第37页 求和求和（积零为整）（积零为整）大曲边梯形面积大曲边梯形面积38第38页第38页 取极限取极限令令若极限若极限存在，存在，则定义此极限值为曲边梯形面积则定义此极限值为曲边梯形面积（直转化为曲）（直转化为曲）让每个小区间长度趋于零让每个小区间长度趋于零再演示一下这个过程39第39页第39页1、分割 将a，b分割为n个小区间02、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S=yx40第40页第40页1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S=5、取极限 a byx41第41页第41页 求曲边梯形面积表达了曲转化为直、求曲边梯形面积表达了曲转化为直、直转化为曲辩证思想。这个计算过程，就直转化为曲辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分过程。也就是说，把是一个先微分后积分过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边当作直边，用这些小曲边梯形中，把曲边当作直边，用这些小小“矩形矩形”面积和近似地表示本来大曲边面积和近似地表示本来大曲边梯形面积，从而实现了局部曲转化为局部梯形面积，从而实现了局部曲转化为局部直，即直，即“以直代曲以直代曲”。42第42页第42页 然后，再把分割无限加细，通过取极然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积和，转化为本来大曲限，就使小矩形面积和，转化为本来大曲边梯形面积。这样局部直又反过来转化为边梯形面积。这样局部直又反过来转化为整体曲。这种曲转化为直，直转化为曲，整体曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反应出来化整为零、积零为整以及由此所反应出来化整为零、积零为整思想办法，是微积分乃至整个高等数学一思想办法，是微积分乃至整个高等数学一个主要办法。个主要办法。43第43页第43页F 即使是变力，但在很短一段间隔内，即使是变力，但在很短一段间隔内，F改变不改变不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积思想，梯形面积思想，F(x)AB 再看一个变力做功问题。再看一个变力做功问题。设设 质点质点 m 受力受力 作用，在变力作用，在变力F作用下，沿直线由作用下，沿直线由 A 点运动到点运动到 B 点，求变力作功点，求变力作功上一页下一页44第44页第44页 分割分割用任意一组分点：用任意一组分点：把把 a,b 分成分成 n 个小区间个小区间 ti-1,ti i=1,2,n 近似代替近似代替在在 ti-1,ti 上任取一点上任取一点i，于是在该小区间，于是在该小区间上力上力 作功作功 45第45页第45页 求和求和总功总功 取极限取极限令令若极限若极限存在，存在，则定义此极限值为力所做功则定义此极限值为力所做功46第46页第46页从上面例子看出，无论是求曲边梯形面积或是计从上面例子看出，无论是求曲边梯形面积或是计算变力作功，它们都归结为对问题一些量进行算变力作功，它们都归结为对问题一些量进行“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形，或者说都归结为形如如 和式极限问题。我们把和式极限问题。我们把这些问题从详细问题中抽象出来，作为一个数学这些问题从详细问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲定积分。由此我们能够概念提出来就是今天要讲定积分。由此我们能够给定积分下一个定义给定积分下一个定义 47第47页第47页二、定积分定义二、定积分定义定义定义:在在 a,b 内任取一组分内任取一组分点点将将 a,b 分成分成 n个子区间个子区间i=xi-1,xi i=1,2,n 这些分点构成这些分点构成a,b 一个一个分割分割，记为，记为T=x0,x1,xn =1,2,n 记记 xi=xi xi-1，并称并称为分为分割割 T 模模48第48页第48页称此和式为称此和式为 f 在在 a,b 上一个积分和，也称为黎上一个积分和，也称为黎曼（曼（Riemann）和）和定义定义:设函数设函数 f(x)在在 a,b 上有定义上有定义,对对a,b一个分割一个分割T=1,2,n ，任取点，任取点 i i,i=1,2,n，作和，作和49第49页第49页定义定义:设函数设函数 f(x)在在 a,b 上有定义上有定义,若任给若任给 0，总存在，总存在 0，使得，使得 对对a,b任何分割任何分割T=1,2,n ，任意，任意 i i,i=1,2,n，只要，只要|T|b 时时,52第52页第52页曲线曲线 y=f(x)0，直线，直线 x=a，x=b，y=0 所围成曲边梯形面积可用定积分表示为所围成曲边梯形面积可用定积分表示为变力作功问题可表示为变力作功问题可表示为53第53页第53页例例 1 求在区间求在区间 0,1 上，以抛物线上，以抛物线 y=x2为曲边曲边三角形面积为曲边曲边三角形面积解解由定积分几何意义，有由定积分几何意义，有由于定积分存在，对区间由于定积分存在，对区间 0,1 取特殊分割取特殊分割54第54页第54页将区间将区间 0,1 等分成等分成 n 等份等份,分点为分点为每个小区间长度每个小区间长度取取则有则有55第55页第55页56第56页第56页A.与区间及被积函数相关；B.与区间无关与被积函数相关 C.与积分变量用何字母表示相关；D.与被积函数形式无关 在 上连续，则定积分 值4.(B)中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.(A)及x轴所围成曲边梯形 面积，用定积分表示为 与直线 1.由曲线(B)举例 2-2-2,20A3.定积分(A)57第57页第57页 三三 定积分几何意义定积分几何意义.当当 f(x)0，定积分，定积分几何意义就是曲线几何意义就是曲线 y=f(x)直线直线 x=a，x=b，y=0 所所围成曲边梯形面积围成曲边梯形面积bAoxyay=f(x)S58第58页第58页当函数当函数 f(x)0，x a,b 时时定积分定积分就是位于就是位于 x 轴下方曲边梯形面轴下方曲边梯形面积相反数积相反数.即即oxyaby=f(x)S59第59页第59页四、小结定积分实质定积分实质：特殊和式极限：特殊和式极限定积分思想和办法：定积分思想和办法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3.定积分几何意义及简朴应用定积分几何意义及简朴应用60第60页第60页我们已经利用定积分处理一些应用问题计算我们已经利用定积分处理一些应用问题计算,如：如：变力沿直线所做功变力沿直线所做功已知质点运动速度，求质点运动路程已知质点运动速度，求质点运动路程曲边梯形面积曲边梯形面积 面积元素面积元素ab xyo61第61页第61页1.1 矢量基本运算矢量基本运算1.1.1标量和矢量标量和矢量电磁场中碰到绝大多数物理量，能够容易地域分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述物理量称为标量，比如，电压、温度、时间、质量、电荷等。事实上，所有实数都是标量。一个有大小和方向物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。比如，矢量A能够表示成A=aA其中，A是矢量A大小;a代表矢量A方向，a=A/A其大小等于1。返回62第62页第62页一个大小为零矢量称为空空矢矢（Null Vector）或零零矢矢（Zero Vector），一个大小为1矢量称为单位矢量（Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量方向。空间一点P(X,Y,Z)能够由它在三个互相垂直轴线上投影唯一地被拟定，如图1-1所表示。从原点指向点P矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ63第63页第63页图1-1直角坐标系中一点投影64第64页第64页X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都能够给出其三个分量。比如，在直角坐标系中，矢量A三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、az能够将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz 矢量A大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/265第65页第65页1.1.2矢量加法和减法矢量加法和减法矢量相加平行四边形法则，矢量加法坐标分量是两矢量相应坐标分量之和，矢量加法结果仍是矢量66第66页第66页1.1.3矢量乘积矢量乘积矢量乘积包括标量积和矢量积。1）标量积标量积任意两个矢量A与B标量积(Scalar Product)是一个标量，它等于两个矢量大小与它们夹角余弦之乘积，如图1-2所表示，记为AB=ABcos 图1-2标量积67第67页第67页比如，直角坐标系中单位矢量有下列关系式：axay=ayaz=axaz=0axax=ayay=azaz=1任意两矢量标量积，用矢量三个分量表示为AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从互换律和分派律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC68第68页第68页 2）矢量积矢量积任 意 两 个 矢 量 A与 B矢 量 积（Vector Product）是一个矢量，矢量积大小等于两个矢量大小与它们夹角正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B构成平面，如图1-3所表示，记为 C=AB=anABsin an=aAaB（右手螺旋）69第69页第69页图1-3矢量积图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋70第70页第70页矢量积又称为叉叉积积(Cross Product)，假如两个不为零矢量叉积等于零，则这两个矢量必定互相平行，或者说，两个互相平行矢量叉积一定等于零。矢量叉积不服从互换律，但服从分派律，即AB=-BA A(B+C)=AB+AC71第71页第71页直角坐标系中单位矢量有下列关系式：axay=az,ayaz=ax,azax=ay axax=ayay=azaz=0 在直角坐标系中，矢量叉积叉积还能够表示为 =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)72第72页第72页