高考数学考点解读+命题热点突破专题13空间中的平行与垂直文-(2).pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 13 空间中的平行与垂直文【考向解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.【命题热点突破一】空间线面位置关系的判定(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例 1、【2016 高考江苏卷】(本小题满分14 分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11B DA F，1111ACA B.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABCA B C中，1111AA平面A BC小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学因为11AC平面111A B C，所以111AAA C又因为111111111111111,ACA BAAABB A A BABB A A BAAA，平面平面所以11AC平面11ABB A因为1B D平面11ABB A，所以111ACB D又因为1111111111111C F,C F,B DAACAA FAACA FAF，平面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE平面，所以1B DE平面11.AC F平面【变式探究】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交(2)平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a?，aC存在两条平行直线a，b，a?，b?，a，bD存在两条异面直线a，b，a?，b?，a，b【答案】(1)D(2)D【特别提醒】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】已知m，n为两条不同的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n，则mn；若m，mn，则n；若 ，m，则m；若m，m，则.A0 B1 C2 D3【答案】C【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例 2、【2016 高考江苏卷】(本小题满分14 分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11B DA F，1111ACA B.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】（1）详见解 析（2）详见解析【变式探究】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC 4，AB 6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC?平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD?平面PDC，所以BCPD.(3)解如图，取CD的中点E，连接AE和PE.因为PDPC，所以PECD，在 RtPED中，PEPD2DE242327.【特别提醒】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，a?la.【变式探究】如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【命题热点突破三】平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法例 3、【2016 高考新课标2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，54AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值【答案】（）详见解析；（）2 9525.【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【变式探究】如图(1)，在 RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？请说明理由【解析】例3(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE平面A1CB.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【特别提醒】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论【变式探究】如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积【高考真题解读】9.【2016 高考新课标2理数】,是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（1）如果,/mn mn，那么.（2）如果,/mn，那么mn.（3）如果/,m，那么/m.（4）如果/,/mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】10.【2016 高考浙江理数】如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC中，因为2,120ABBCABC，所以30BADBCA.由 余 弦 定 理 可 得2222cosACABBCAB BCB2222222cos12012，所 以2 3AC.设ADx，则023x，2 3DCx.在ABD中，由 余 弦 定 理 可 得2222c o sB DA DA BA DA BA22222cos30 xx2234xx.故22 34BDxx.在PBD中，PDADx，2PBBA.由 余 弦 定 理 可 得2222222(234)3c o s2222P DP BB DxxxBPDPD PBx，所 以小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学30BPD.由此可得，将ABD沿 BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面 PBD 平面 BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.EDCBAP11.【2016 高考新课标1 卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)32 (B)22 (C)33 (D)13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D平面ABCD=m，平面11CB D平面11ABB A=n，因为平面11CB D，所以,mm nn，则,m n所成的角等于,m n所成的角.过1D作11D EB C，交AD的延长线于点 E,连接CE，则CE为m.连接1A B，过 B1作111B FA B，交1AA的延长线于点1F，则11B F为n.连接 BD，则111,BDCE B FAB，则,m n所成的角即为1,A B BD所成的角，为60，故,m n所成角的正弦小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学值为32，选 A.12.【2016 高考新课标3 理数】在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4（B）92（C）6（D）323【答案】B【解析】要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选 B1(2015安徽，5)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则 与 平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D 2(2015浙江，8)如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AADB BADBCACB DACB【答案】B【解析】极限思想：若，则ACB，排除 D；若 0，如图，则ADB，ACB都可以大于0，排除 A，C.故选 B.3(2015浙江，13)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_【答案】784(2015江苏，16)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学5(2015新课标全国，19)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA1 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面 所成角的正弦值【解析】6(2015新课标全国，18)如图，四边形ABCD为菱形，ABC 120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，3，0)，E(1，0，2)，F1，0，22，C(0，3，0)，所以AE(1，3，2)，CF 1，3，22.故 cosAE，CFAECF|AE|CF|33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.7(2014江苏，16)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA 6，BC 8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学8(2014新课标全国，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为 60，AP1，AD3，求三棱锥EACD的体积【解析】(1)证明连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直可取n13m，1，3.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设知|cos n1，n2|12，即334m212，解得m32.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12，三棱锥EACD的体积V13123321238.