二元一次不等式（组）与平面区域教学设计.doc

二元一次不等式（组）与平面区域教学设计东莞实验中学 薛新建一、 内容和内容解析：本节介绍了二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系中区域的对应关系，以及一些简单的线性规划问题.从内容上讲，本节主要是为下节课（简单的线性规划问题）做两方面的准备工作：1、从具体问题中抽象出二元一次不等式（组），其实就是从实际问题中建立数学模型；2、能够找到二元一次不等式（组）所对应的平面直角坐标系中的区域. 通过前一步使得具体问题转化为数学问题，是从“具体问题”到“数”的过程，通过后一步又把代数问题转化为几何问题，是从“数”到“形”的过程.有了这两步充分的准备，下节课的简单的线性规划问题才能把重点放到寻找最优解上.所以本节课的重点也就不言而喻了，即探索获取二元一次不等式与平面区域之间的关系，对学生来说，这是一个陌生而抽象的概念，要在一节课内解释清楚这个问题，就要从学生已有知识出发，通过提出问题，思考问题，解决问题的过程让学生自然而然接受这个新的概念，再通过课堂习题的精心设计，就能帮助学生轻松越过这个门槛.二、目标和目标解析：1、使学生能够从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.培养学生“建模”能力和用数学工具解决实际问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.2、使学生能够画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.培养学生观察，联想以及作图的能力，并渗透集合、化归、数形结合的思想.3、使学生能够求出平面直角坐标系中的区域所对应的二元一次不等式（组）.培养学生逆向思维能力.上述三项目标要求水平都是是“理解”并能“独立操作”.三、教学问题诊断分析： 由于本节课重点在于探索获取二元一次不等式与平面区域之间的关系，要解释清楚这个问题，必须给学生提出一个类比的对象，即一元一次不等式（组）表示数轴上的区间，让学生从已有知识出发，大胆猜想，细心求证，最后得到二元一次不等式（组）与平面区域的关系.本节课是一节操作性要求比较高的课，需要学生严格画出直线，然后才能找到二元一次不等式（组）对应的平面区域，这也是为下节课寻找最优解做足铺垫奠定基础的地方，如果课上对这一点落实不够充分的话可能会给下节课带来不必要的麻烦. 因此本节课的难点是：正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.四、教学支持条件分析： 本节课建议运用信息技术手段如几何画板等工具对直线一侧的点的坐标进行跟踪显示，让学生观察发现位于直线同一侧的点的坐标代入式子后得到的数值符号都相同，而位于直线两侧的点的坐标代入式子后得到的数值符号都相反，再加上学生以前就认识到：直线上的所有点的坐标代入式子后得到的数值都为，学生就会得到结论：平面上所有点以代入式子后得到的数值符号不同而分成以直线为边界的三个部分，即“直线定边界”；为了判断相应区域中点的符号的正负，可以采用“特殊点定值”方法.五、教学过程设计：1、问题引入引言设计:在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系模型.引言设计是为了让学生理解本课时内容的大致内容，做到心中有数.引例设计：一家银行的信贷部门计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%那么，信贷部门应该如何分配资金？如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x元、y元，你能用不等式刻画其中的不等量关系吗？设计意图：通过建立该问题相应的数学模型，让学生从实际问题中抽象出数学模型，体验数学在实际问题中的无处不在，锻炼学生“建模”能力；建立一元二次不等式组，也为解决问题做好准备.活动预设：由学生自己建立不等式组，教师点评并进行纠正或补充.这里可能出现的主要问题是不等式列举不完全，如对这一条件的遗漏，要在此培养学生严密的逻辑思维能力和审题能力.另外一个问题是把投入资金的不等关系建立成等量关系.这里可以用问题串对学生进行追问，让学生通过思考自己纠正过来.问题串设计：追问1：25 000 000元的资金是否恰好全部贷出？（不一定全部贷出）追问2：既然不一定全部贷出，实际贷款总额和计划贷款总额应该是什么关系？（实际贷款总额不超过计划贷款总额）追问3：转化成数学式子应该是什么？（）追问4：对于企业贷款和个人贷款有没有什么限制条件？（有：要非负并且不超过25 000 000）追问5：转化成数学式子应该是什么？（） 活动结果概括：建立数学模型要先设定未知数，然后用不等式表示出问题所涉及到的所有不等关系，需要注意的是有些量根据其实际意义还要满足特定的不等式，在列举的时候不能遗忘.2、引例到新课的过渡 在引例中我们得到了一个二元一次不等式组，它的每一组解的和的值构成有序数对，所有这样的数对构成的集合成为二元一次不等式组的解集.我们知道有序数对和平面直角坐标系中的点一一对应，于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.设计意图：在引例中已经解决了本节课的第一个重要内容即从实际问题中抽象出数学模型，下来要进行本节课的重点也是难点的部分即探索二元一次不等式（组）和平面区域的关系，这二者之间要通过相关知识进行一个过渡，这样不至于让学生感觉两部分的衔接过于生硬.3、新课探索由上述分析知道，二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合，而且我们还知道，一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间（举实际例子分析），那么问题一：在平面直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？问题设计意图：让学生通过和一元一次不等式（组）的解集表示的区间进行对比，类比猜想二元一次不等式（组）的解集表示的图形，使学生建立新知与旧知之间的联系，容易理解.类比活动表格设计如下：一元一次不等式的结论二元一次不等式的猜想不等式举例图形不等式举例图形在数轴上，x=2表示一个点，数轴上的点被点x=2分成三类，以不等式x2的解为坐标的点都在点x=2的左侧，以不等式x2的解为坐标的点都在点x=2的右侧活动预设：类比表格的给出很重要，先要把一元一次不等式的相关性质明确列举出来，学生类比起来才有个标准，不至于类比的结论千变万化不着边际.活动过程中教师可以从，和三个不等式的图形对学生进行引导总结.学生在老师的指引下能够完成表格，但是如果学生猜想的结果是错误的，在设计验证办法时可能会存在问题.那么如何验证猜想结果的正确性呢？验证办法设计：画出直线，通过取不等式的特殊解画出其所在位置进行验证. 并在此基础上通过不等式的代数特征对解的坐标进行一般性的分析，如，横坐标一定时，满足不等式的的值越大，相应的点越在直线的左上方反之在直线的左上方任取一个特殊点可以验证该点的坐标满足不等式，因为纵坐标越大，的值越小，所以直线的左上方的点的坐标满足不等式辅助手段：此处可以借助几何画板进行演示验证活动结果概括：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点都位于直线的同一侧，并且是左上方；反之，在直线左上方的点的坐标都满足二元一次不等式问题二：表示的区域呢？设计意图：一方面让学生在得到结论的前提下再一次去思考二元一次不等式所表示的平面区域，使得总结出的结论得以验证，另外一方面也是保证知识的完整性所必须的.教师讲授：直线叫做这两个区域的边界（boundary）.这里，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.通过上面的研究，我们发现一个具体的二元一次不等式，所表示的是平面直角坐标系中直线一侧的区域.那么 问题三：对于一般的二元一次不等式所表示的平面区域是什么呢？设计意图：在对一个具体的例子进行探究以后，有必要把这个结论进行推广，得到一个更为一般的结论，这样对我们才有指导意义.结论概括：一个一般的二元一次不等式所表示的平面区域是平面直角坐标系中直线某一侧的平面区域.课堂练习设计：在不同的坐标系中画出下列不等式表示的平面区域：，设计意图：巩固和消化所学知识，锻炼学生作图能力，并趁机提出当不等式中含有“等号”时，对应直线要画成实线.问题四：在练习题中，如何确定不等式所表示的区域是直线的哪一侧呢？设计意图：确定不等式表示的区域是直线的哪一侧是本节课的重中之重，实际上这一步也是很多同学在以后的学习以及练习中最容易出错的地方，所以在本节课把这个问题讲清楚并巩固下来就变得尤为重要.活动预设：学生在讨论中发现，由于直线一侧的所有点的坐标代入式子得到的数值的符号相同，所以可以在直线的一侧选取一个特殊点代入式子进行检测，如果所得到的数值的符号符合不等式，则得到结论：不等式表示的区域是该点所在直线的一侧的区域；反之，如果所得到的数值的符号不符合不等式，则得到结论：不等式表示的区域是该点所在直线的另一侧的区域.经常用的特殊点是原点，如果直线经过原点，则可以选取或这样的点进行验证，减少计算量.结论概括：在实际问题中，要画出不等式所表示的平面区域，经常采用“直线定边界，特殊点定域”的方法，这也是解决这类问题的步骤.前面我们探索了二元一次不等式所表示的平面区域，那么问题五：二元一次不等式组所表示的平面区域如何画出呢？设计意图：有了二元一次不等式所表示的区域做铺垫，二元一次不等式组表示的区域就水到渠成了.学生经过简单思考就可以得到结论.结论概括：二元一次不等式组的解集是不等式组中各个不等式的解集的交集，所表示的的区域是不等式组中各个不等式所表示的区域的交集.课堂练习设计：画出引例中得到的不等式组所表示的平面区域设计意图：巩固所学知识，体验不等式组所表示的区域特点.4、小结本节课通过类比的方法，探索研究了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，现作如下小结： 本节课重要结论：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域. 画二元一次不等式所表示的区域的方法: “直线定边界，特殊点定域” 画图时需要注意：当不等式中的不等号是“”或者“”时，图形的边界线画成虚线；当不等式中的不等号是“”或者“”时，图形的边界线画成实线设计意图：巩固本节课所学基础知识和思想方法，起到提纲挈领，画龙点睛的作用，同时也起到回顾一下这节课是否成功的，是否达到预期目的的作用.是一堂课必不可少的部分.六、目标检测设计：1、P86练习1,2,3.设计意图：复习最基本的画出直线所表示区域的方法.2、P85-P86例3，例4设计意图:提高学生从实际问题中抽象出不等式组的能力，复习最基本的画出直线所表示区域的方法.