【精准解析】2021高中数学人教B版必修第三册：7.2.1 三角函数的定义.docx

D.-1
7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义 课后篇巩固提升

基础达标练
1.(多选)在平面直角坐标系 xOy 中,角α的顶点在原点 O, 以 x 轴正半轴为始边,终边经过点
P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于 0 的是( )

A.sina B.cos α-sin α
tana
C.sin αcos α D.sin α+cos α
解析由题意知 sinα<0,cosα>0,tanα<0.
tana
选项 A,sina >0;
选项 B,cosα-sinα>0;
选项 C,sinαcosα<0;
选项 D,sinα+cosα符号不确定.
答案 AB
2. 已知 cos α=m,0<|m|<1,且 tan α= 1-m2,则角α的终边在( )
m
A.第一或第二象限 B.第三或第四象限
C.第一或第四象限 D.第二或第三象限
1-m2>0,所以 cosα与 tanα同号,
解析因为 cosα=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上.又因为
所以角α的终边在第一或第二象限.
答案 A
)
3.(多选)角α的终边上有一点 P(a,a),a∈R,且 a≠0,则 sin α的值可以是(

1
A. 2
2

B.- 2
2

C.1
2


2

2a 2
解析当 a>0 时, |OP|= 2a, 由三角函数的定义得 sinα= a = 2;当 a<0 时, |OP|=- 2a, 由三角函数的定

- 2a 2
义得 sinα= a =- 2,故 A,B 正确.
答案 AB
4.若 sin α=-3,且 tan α>0,则 cos α= .
5

解析∵sinα<0,tanα>0,∴α是第三象限角.
设 P(x,y)为α终边上一点,则 x<0,y<0,r= x2 + y2 , ∴sinα=y =-3,r=-5y,x=4y,
r 5 3 3

因此 cosα=x =-4.
r 5

答案-4
5
.
5. 已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则 a 的取值范围是
解析因为x≤0,y>0,所以 x≤0,y>0,
r r
即 a + 2 0,故-2<a≤3.
答案(-2,3]
3a-9 ≤ 0,

6. 已知角θ的终边上有一点 P(- 3,m),且 sin θ= 2m,求 cos θ与 tan θ的值.
4

解由已知,得 2m= m ,解得 m=0 或m=± 5.
4 3+m2
(1)当 m=0 时,r= 3,cosθ=- 1,tanθ=0;

(2)当 m= 5时,r=2 2,cosθ=- 6,tanθ=- 15; 4 3

4 3 .
(3)当 m=- 5时,r=2 2,cosθ=- 6,tanθ= 15

能力提升练

1. 已知α=5π,则点 P(sin α,cos α)所在的象限是( )
6
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6
解析因为α=5π,则其终边在第二象限,所以 sinα>0,cosα<0,故点 P 在第四象限.
答案 D
( )
2.设α是第二象限角,且 cos a =-cosa,则a是
2 2 2

2
A.第一象限角
C.第三象限角

B.第二象限角
D.第四象限角

2
解析∵α是第二象限角, ∴a为第一或第三象限角.
2 2 2
又 cos a =-cosa, ∴cosa<0.
∴a是第三象限角.
2

= =
答案 C
3. 已知点 P(3,y)在α的终边上,且满足 y<0,cos α=3,则 tan α的值为 ,sin α的值为 .
5
解析因为 3 = 3,y<0,
5
32+y2
所以 y=-4.
3 5
所以 tanα=-4,sinα= -4 =-4.
32+(-4)2

答案-4 -4
3 5
4.若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是其终边上一点,且|OP|= 10,则 m-n 等 于 .
解析因为 sinα<0,则角α的终边位于第三象限,故 m<0,n<0,且 n=3m,又 m2 + n2 = 10,可得 m=- 1,n=-3,因此 m-n=2.
答案 2
5. 已知 sin α<0,且 tan α>0.
(1)求角α的集合;
2
(2)求角a的终边所在的象限;
(3)试判断 sina,cosa的符号. 2 2
2
解(1)∵sinα<0,且 tanα>0,∴角α是第三象限角,即 a π + 2kπ < a < 3π + 2kπ ,k∈Z .

(2)∵π+2kπ<α<3π +2kπ(k∈Z), 2

2 2 4 2 2
∴π +kπ<a < 3π +kπ(k∈Z). 当 k 为偶数时, 角a的终边在第二象限;当k 为奇数时, 角a的终边在第四象限.
∴角a的终边在第二或第四象限.
2
2 2 2 2 2 2
(3)当角a的终边在第二象限时,sina>0,cosa<0;当角a的终边在第四象限时,sina<0,cosa>0.

素养培优练

已知角α的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+ 3 的值.
cosa
解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则 x=k,y=-3k,r= k2 + (-3k)2 = 10|k|.
当 k>0 时,r= 10k,α是第四象限角,
sinα=y = r
,
-3k =-3 10
10k 10

1 r
cosa x
,
10k = 10
k

3
所以 10sinα+ 3 =10× - 3 10 +3 10
cosa 10
=-3 10+3 10=0;
当 k<0 时,r=- 10k,α为第二象限角,
sinα=y = -3k = 3 10,
- 10k 10

1 = = - 10k =- 10,
cosa x k

所以 10sinα+ 3 =10×3 10 +3×(- 10)
cosa 10

=3 10-3 10=0.综上,10sinα+ 3 =0.
cosa
4