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同步练习(八) 等比数列的前 n 项和
一、选择题
1.等比数列{an }中, a1=1, S6=63,则公比 q 的值为( )
A. 2 B.-2
1
C. 4 D.2
3 9
2.在等比数列{an }中, a3 =2,其前三项的和 S3 =2,则数列{an }的公比 q=( )
1 1
A.-2 B.2
1 1
C .- 2或 1 D.2或 1
3.设等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 a1=3,且 a2 018+a2 019=0,则 S673 等于( )
A. 3 B. 2 019 C.-3 D.-2 019
4.数列 1, x, x2,…, xn- 1,…的前 n 项和为( )
1-xn 1-xn- 1
1-x 1-x
1-xn+ 1
1-x
二、填空题
A. B.
C. D.以上均不对
5.在数列{an }中, a1=2, an+1=2an, Sn 为{an }的前 n 项和.若 Sn=126,则 n =________.
6.设等比数列{an }的公比q =2,前 n 项和为 Sn ,则a
7.记等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 S3=3a3 ,则公比 q =________.
三、解答题
8.记 Sn 为等比数列{an }的前 n 项和.已知 S2=2, S3 =-6.
(1)求{an }的通项公式;
(2)求 Sn.
1 S
9.已知等差数列{an }的公差 d>0,首项 a1=1, a1, a2, a5 成等比数列.
(1)求数列{an }的通项公式;
(2)若数列{bn }满足 bn=2n+an ,求数列{bn }的前 n 项和 Sn.
[尖子生题库]
10.已知数列{an }满足 a1=1, an+1-an=2,等比数列{bn }满足 b1 =a1, b4 =a4+1.
(1)求数列{an }, {bn }的通项公式;
(2)设 cn =anbn ,求数列{cn }的前 n 项和 Sn.
同步练习(八) 等比数列的前 n 项和
1. 解析: 当 q= 1 时, S6=6a1=6≠63 ,不符合题意,
当 q≠1 时, S =a1(1-q6)= 1-q6=63 ,将选项代入检验,可
6 1 -q 1 -q
得 q=2.
答案: A
3 9
2. 解析: 由题意,可得 a1q2=2,a1+a1q+a1q2=2 ,两式相
1+q+q2 1
除,得 =3 ,解得 q=- 或 1.
q2 2
答案: C
3. 解析: 由 a2 018+a2 019=0 可得数列的公比为 q=- 1 ,故
673 673 1
S =a =a =3.
答案: A
4. 解析: 利用分类讨论的思想,对x=0,x= 1,x≠1且 x≠0 进行分析.
n
n
当 x=0 时,数列为 1,0,0, …,0, … ,前 n 项和为 S = 1;
当 x= 1 时,数列为 1,1, …, 1,1, … ,前 n 项和为 S =n;
当 x≠1且 x≠0 时,数列为等比数列,且首项 a1= 1 ,公比 q
=x ,所以前 n 项和 S = = = .
a1(1-qn) 1×(1-xn) 1-xn
n 1-q 1-x 1-x
答案: D
5. 解析: ∵a1=2,an+ 1=2an ,
∴数列{an }是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,又∵Sn= 126,
2(1-2n)
∴ = 126, ∴n=6.
1-2
答案: 6
a1(1 -q4)
1-q
6. 解析: ∵S4 = , a4 =a1q3 ,
S 1-q4
∴ 4 = = 15.
a4 q3(1-q)
答案: 15
7. 解析: ∵S3=a1+a2+a3=3a3, ∴a1+a2=2a3, ∵a1 ≠0, ∴ 1+q=2q2 ,即 2q2-q- 1=0, ∴q=- 2(1)或 1.
1
2
答案: - 或 1
8. 解析: (1)设{an }的公比为 q.
由题设可得〈(a1 1+q)=2,
a1 1+q+q2)=- 6.
解得〈(a1=- 2,
q=- 2.
故{an }的通项公式为 an=(-2)n .
-2×[1--2)n]
(2)由(1)可得 Sn= 1- -2)
=- +(- 1)n ·
2 2n+ 1
3 3 .
9. 解析: (1)由题意可得 a 2(2)=a1a5 ,即(a1+d)2=a1(a1+4d),
得(1+d)2=1+4d,整理得 d(d-2)=0,
解得 d=0 或 d=2.
又因为 d>0 ,所以 d=2.
所以 an=2n- 1.
(2)Sn=(2+4+8+ …+2n)+(1+3+5+7+ …+2n- 1)
= +
2 1-2n) n1+2n- 1)
1-2 2
=2n+ 1+n2-2.
10. 解析: (1)由 a1= 1,an+ 1-an=2 得,
an=2n- 1,b1= 1,b4=8 ,所以公比 q=2 ,所以 bn=2n- 1 .
(2)cn=(2n- 1)2n- 1 ,
n
S = 1 · 1+3 · 2+5 · 22+ …+(2n- 1)2n- 1 ,
n
2S =1· 2+3· 22+5· 23+ …+(2n-3) · 2n-1+(2n- 1)2n ,
上述两式作差得
n n
-S = 1+2· 2+2· 22+2· 23+ …+2 · 2n- 1-(2n- 1)2n ,-S = 1
「2 1-2n-1)]
+2| |- (2n - 1)2n ,
L 1 - 2 」
所以 Sn=3-2n(3-2n).
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