资源描述
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 --培根
第七章综合测试
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的)
1. 已知点 P(tana,cosa) 在第三象限，则角a 的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数a 是( )
A. 1 B.4 C. 1 或 4 D.2 或 4
3. 已知 sin(π +a ) = - 1 ，则 tana = ( )
3
2 2
A. 2 2 B. C. 土 D. 土2 2 4 4
4.若将函数 f (x) = sin (|(2x+ 4(π)))|的图像向左平移Q(Q＞0) 个单位长度，所得图像关于原点对称，则Q 的最小
值( )
π π 3π 3
A. B. C. D. π 8 4 8 4
5.若 f (cos x) = cos2 x ，则 f (sin15。)的值为( )
1 / 14
3
A
. -
2
3
B
.
2
1
C.
2
1
D. -
2
6.设函数 f (x) = cos (|(x + 3(π)))| ，则下列结论错误的是( )
A. f (x) 的一个周期为 -2π
B. y = f (x) 的图像关于直线 x = 8π 对称 3
C. f (x +π) 的一个零点为 x = π 6
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D. f (x) 在(|(2(π) , π ))| 上单调递减
2cos(a - 2π)
7. 已知角 a 的终边上有一点 P(1,3) ，则 sin(π - a) - sin (|(2(π) +a))| 的值为( )
4
A. 1 B. - C. -1 D. -4
5
3cos a - sina
8. 已知 sina + 3cos a = 5，则sin2a - sinacosa 的值是( )
2 2
A. B. - C. -2 D.2 5 5
9. 将函数 y = sin (|(2x - 3(π)))| 图像上的点 P (|(4(π) , t))| 向左平移 s (s＞0)个单位长度得到点 P ' . 若 P ' 位于函数
y = sin2x 的图像上，则( )
1 π
A. t = ， s 的最小值为要
2 6
3 π
B. t = ， s 的最小值为
2 6
1 π
C. t = ， s 的最小值为
2 3
3 π
D. t = ， s 的最小值为系
2 3
10. 函数 f (x) = sin(2x +p)(|(|p| ＜2(π)))|的图像向左平移 6(π) 个单位长度后所得图像对应的函数是偶函数，且存
在 x = 0, 2(π) ，使得不等式 f (x) m 成立，则m 的最小值是( )
1 1
A. -1 B. - C. D. 1 2 2
11. 已知函数 f (x) = Asin(ox +p)(A＞0,o＞0,0＜p＜π) 的部分图像如图所示，且 f (a ) = 1， a =(|(0, 3(π)))| ，则
2 / 14
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cos (|(2a + 6(5π)))| = ( )
2 2 2 2 2 2 1
A. 土 B. C. - D. 3 3 3 3
12. 将函数 f (x) = sin 2x 的图像向右平移 p (|(0＜p＜2(π)))| 个单位长度后得到函数 g(x) 的图像 . 若对满足
f (x )- g (x ) = 2 的x ， x ，有 x - x = π ，则p = ( )
1 2 1 2 1 2 min 3
3 / 14
5π
A.
12
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
6
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.若 f (x + 2) = 〈 则 f (|( 3(π) + 2))| f (-98) =__________.
14.若函数 f (x) = sin (|(ox+ 6(π)))|(o =N *)在区间 上单调递增，则 o 的最大值为__________.
15.如图是某个弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动 的函数解析式是__________.
π
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(sin x, sin x cos x,
lcosx, sin x＞cosx,
16.对于函数 f (x) = 〈 给出下列四个命题：
①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数；
②当且仅当 x = π + kπ(k =Z) 时，该函数取得最小值 -1；
③该函数的图像关于直线 x = 5 π + 2kπ(k =Z) 对称； 4
4 / 14
④当且仅当 2kπ＜x＜ + 2kπ(k =Z) 时， 0＜f (x) 2
2
.其中正确命题的序号是__________. (请将所有正确 2
命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[10 分]已知tana = 3 ，求下列各式的值：
(1)
3cos(-π - a) - sin(π +a)
3 cos (|( 2(π) +a))| + sin (|( 2(3π) - a))|
(2) 2sin2a - 3sin a cosa - 1 .
18[12 分]已知函数 f (x) = Asin(ox +p)(A＞0,o＞0|p | ＜2(π)))| 的部分图像如图所示.
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0
(1)写出函数 f (x) 的解析式及 x 的值；
(2)求函数 f (x) 在区间上的最小值与最大值.
19.[12 分]某实验室一天的温度(单位： ℃ )随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系：
π π
f (t) = 10 - 3cos t - sin t， t =[0,24) .
12 12
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
20.[12 分]在某地，估计某一天的白昼时间的小时数D(t) 的表达式是 D(t) = 3sin 365(2π)(t - 79) +12 ，其中 t
表示某 365 天的序号， t = 0 表示 1 月 1 日，依此类推.
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(1)问哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(2)估计在该地一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 小时？
( 4 )
21.[12 分]已知函数 f (x) = 2 cos (|2x - π )|， x = R .
(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x = 时，方程 f (x) = k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围；
( 4 )
(3)将函数 f (x) = 2 cos (|2x - π )| 的图像向右平移m(m＞0) 个单位长度后所得函数 g(x) 的图像关于原点中
心对称，求m 的最小值.
( 3 ) 2
22.[12 分]已知函数 f (x) = 3sin (|2ox+ π )| +1(o＞0) ，且 f (x) 的最小正周期为 π .
(1)求函数 f (x) 的解析式及 f (x) 图像的对称中心；
2 L (8 12 ) 」
(2)若3sin2x - 3m「|f (|x - π )| - 1]| ≥m + 2 对任意 x =[0,2π] 恒成立，求实数m 的取值范围.
6 / 14
1 1 3 1
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第七章综合测试
答案解析
一、
1. 【答案】 B
2. 【答案】 C
3. 【答案】 C
4. 【答案】 C
5. 【答案】 A
6. 【答案】 D
7. 【答案】 A
2cos(a _ 2π) 2cos a
【解析】根据任意角的三角函数定义可得 tana = 3 ，所以 = sina _ cosa
= tana _ = _ = 1 .故选 A. 2 2 2 2
8. 【答案】 A
【解析】由 = 5，得12cos a = 6sin a，
即 tana = 2 ，所以 sin2 a _ sinacosa = = = 5(2) .
9. 【答案】 A
【解析】根据三角函数图像中点的变换关系求解.
(4 ) ( 3 )
t = sin (|2 根 π _ π )| = sin π = 1 ，所以 P (|π , 1 )| .将成 P 向左平移s(s＞0) 个单位长度得P '(|π _ s, 1 )| . 因为 P'
因为点 P (|π , t)| 在函数 y = sin (|2x _ π )| 的图像上，所以.
( 4 3 ) 6 2 (4 2 ) (4 2 )
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在函数 y = sin 2x 图像上， 所以sin 2(|(4(π) _ s))| = 2(1)， 即 cos2s = 2(1)， 所以 2s = 2kπ + 3(π) 或 2s = 2kπ + 3(5)π(k =Z)，
即 s = kπ+ π 或 s = kπ+ 5π (k =Z) ，所以 s 的最小值为 π .
6 6 6
10. 【答案】 B
11. 【答案】 C
【解析】由图易得 A = 3 ，函数 f (x) 的最小正周期T = o(2π) = 4 根 (|(1(7)2(π) _ 3(π)))| ，解得 o = 2 ，所以
f (x) = 3sin(2x +Q ) .
又因为点 (|(3(π) , _3))|在函数图像上，
所以 f (|( 3(π)))| = 3sin (|(2 根 3(π) + Q ))| = _3，
所以 2 根 +Q = π + 2kπ， k = Z，
π 3
3 2
解得Q = + 2kπ， k = Z .
5π
6
又因为0＜Q＜π ，所以Q = 6(5π) ，所以 f (x) = 3sin (|(2x+ 6(5π)))| .
当 a =(|(0, 3(π)))| 时， 2a + 6(5π) = ))| .
又因为 f (a) = 3sin (|(2a + 6(5π)))| = 1，
所以 sin (|(2a + 6(5π)))| = 3(1)＞0，
所以 2a + 6(5π) =(|(6(5π) , π ))|，
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所以 cos (|(2a + 6(5π)))| = 一 1 一 sin2(|(2a + 6(5π)))| = 一 2 32 ，故选 C.
12. 【答案】 D
【解析】先求出g(x) ，表示出 f(x )一 g (x ) ，再结合三角函数的性质求解.
1 2
因为 g(x) = sin2( x 一Q) = sin(2x 一 2Q)，
所以 f (x )一 g (x )|=| sin2x 一 sin(2x 一 2Q )|= 2 .
1 2 1 2
因为 一1 sin 2x 1， 一1 sin(2x 一 2Q ) 1，
1 2
所以sin2x 和sin(2x 一 2Q)的值中，一个为 1，另一个为 一1，
1 2
不妨取sin 2x = 1， sin(2x 一 2Q )= 一1 ，则 2x = 2k π + π ， k = Z，
1 2 1 1 2 1
9 / 14
π 2x 一 2Q = 2k π 一 ，
2 2 2
k = Z， 2x 一 2x + 2Q = 2 (k 一 k )π + π，
2 1 2 1 2
(k 一 k )= Z，
1 2
得 x 一 x = (k 一 k )π + π 一 Q .
1 2 1 2 2
π π π
因为 0＜Q＜ ，所以 0＜ 一 Q＜ ，
2 2 2
故当 k 一 k = 0 时，
1 2
π π π
x 一 x = 一 Q = ，则Q = ，故选 D.
1 2 min 2 3 6
二、
13. 【答案】 2 3
【解析】 ∵f (|(3(π) + 2))| = tan 3(π) = 3， f (一98) = f (一100 + 2) = lg100 = 2， ∴f (|(3(") + 2))| . f (一98) = 3 根 2 = 2 3 .
14. 【答案】 9
| π o + π
π
2kπ + ,
|l4 6
2
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10 / 14
【解析】因为函数
12k - 4 o 8k + 4
3
f (x) = sin (|(ox+ 6(π)))|(o =N*)在区间 上单调递增，所以有
， k = Z . 由 12k - 4 8k + 4 ，得 k 4 .
3 3
〈
π
2kπ - ,
( π π
2
即
|6 o + 6
当 k = 1 时， o = 8, 3(28) ，所以正整数o 的最大值为 9.
15. 【答案】 y = 2sin (|(2(5π) x + 4(π)))|
【解析】设函数解析式为 y = Asin(ox +v)(A＞0,o ＞0). 由图像知 A = 2， T = 0.8，所以 o = 2π = 2π = 5π .
0 T 0.8 2
又函数图像过点(0.1,2) ，所以2 = 2sin (|(4(π) +v))| ，所以v = 2kπ + 4(π) ， k = Z .
不妨取v = 4(π) ，则其函数解析式为 y = 2sin (|(2(5π)x + 4(π)))| .
16. 【答案】③④
【解析】画出 f (x) 在[0,2π] 上的图像，如图所示 . 由图像知，函数 f (x) 的最小正周期为 2π ，在当
x = π + 2kπ(k =Z) 和x = 3 π + 2kπ(k =Z) 时，该函数都取得最小值-1；故①②错误. 由图像知，函数图像关
2
于直线 x = 5 π + 2kπ(k =Z) 对称，在当 2kπ＜x＜ π + 2kπ(k =Z) 时， 0＜f (x) 2 ，故③④正确 .
4 2 2
三、
17. 【答案】解： (1)原式 = - 3 cosa + sina = - 3 + tana = 3 - 3 = 6 - 5 3 .
- 3sin a - cosa - 3 tana - 1 -3 3 - 1 13
2sin 2 a - 3sin a cosa - sin2 a - cos2 a
(2)原式 = sin2 a +cos2 a
2tan 2 a - 3tan a - tan2 a - 1 18 - 9 - 9 - 1 1
= tan2 a + 1 = 9 + 1 = - 10 .
18. 【答案】解： (1) ∵A＞0， o＞0， ∴ 由函数图像可知 A = 2，
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T = o(2π) = 2 x0 - (|(x0 - 2(π)))| = π ，解得o = 2 .
又∵ 函数图像过点 (|(112(3π) ,2 ))|， ∴2 = 2sin (|(2 根 112(3π) +v ))|，
∴2 根 13π +v = 2kπ + π ， k =Z ，即v = 2kπ - 5 π， k = Z .
12 2 3
又|v | ＜2(π)， ∴v = 3(π)， ∴f (x) = 2sin (|(2x + 3(π)))| .
由函数图像可得2sin (|(2x0 + 3(π)))| = 2，
∴ 2x + π = 2kπ + π， k = Z ，即 x = kπ - π ， k = Z .
0 3 4 0 24
13π π 13π 23π
又∵ - ＜x ＜ ， ∴x = .
12 4 0 12 0 24
(2)由 x = - ，可得2x + 3(π) = - .
当 2x + 3(π) = - 6(π) ，即 x = - 4(π) 时， f (x)min= f (|(- 4(π)))| = -1；
当 2x + 3(π) = 2(π) ，即 x = 12(π) 时， f (x)max = f (|(12(π)))| = 2 .
19. 【答案】解： (1)因为 f (t) = 10 - 2 (||( 23 cos 12(π) t + 2(1) sin 12(π) t))|| = 10 - 2sin (|(12(π) t + 3(π)))|，
又 0 t＜24 ，所以 3(π) 12(π) t + 3(π) ＜3(7π) ， -1 sin (|(12(π)t + 3(π)))| 1 .
当 t = 2 时， sin (|(12(π) t + 3(π)))| = 1；
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( 4 )
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(12 3 )
当 t = 14 时， sin (| π t + π )| = -1.
于是 f (t) 在[0,24) 上的最大值为 12，最小值为 8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃ ，最低温度为8℃ ，最大温差为 4 ℃ .
(2)依题意，当 f (t)＞11 时实验室需要降温.
(12 3 )
故有10 - 2sin (| π t + π )|＞11 ，即 sin (| π t + π )|＜- 1 .
由(1)得 f (t) = 10 - 2sin (| π t + π )|，
(12 3 ) (12 3 ) 2
又 0 t＜24 ，因此 7π ＜ π t + π ＜11π ，即10＜t＜18 .
6 12 3 6
故在 10 时至 18 时实验室需要降温.
20. 【答案】解： (1)白星时间最长的一天，即D(t) 取得最大值的一天，此时t = 170 ，对应的是 6 月 20 日 (间年除外) .类似地， t = 353 时， D(t) 取得最小值，即 12 月 20 日白昼最短.
(2) D(t)＞10.5 ，即3sin 365(2π) (t - 79) +12＞10.5，
∴sin 365(2π) (t - 79) ＞ - 2(1)， t =[0,365]，
∴49＜t＜292， 292 - 49 = 243 .
∴ 该地一年中约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时.
21. 【答案】解(1)因为 f (x) = 2 cos |2x - | .
( π )
所以函数 f (x) 的最小正周期为T = 2π = π .
2
由 -π + 2kπ 2x - π ≤2kπ， k = Z，
4
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( 8 ) (8 ) (2 ) ( 4 ) 4
( 3 )
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得 _ 3π + kπ x π + kπ， k = Z .
8 8
故函数 f (x) 的单调递增区间为 _ 8(3π) + kπ, 8(π) + kπ(k = Z) .
(2)因为 f (x) = 2 cos (|(2x _ 4(π)))|在区间 上为增函数，在区间 上为减函数.
又 f | _ | = 0， f | | = 2， f | | = 2 cos |π _ | = _ 2 cos = _1，
( π ) ( π ) ( π ) ( π ) π
当k =[0, 2) 时方程 f (x) = k 恰有两个不同的实数根.
( 4 ) ( 4 ) ( 8 )
(3) ∵f (x) = 2 sin (|_2x + 3π)| = 2 sin (|2x + π )| = 2 sin 2(|x + π )|，
( 8 ) ( 4 )
∴g(x) = 2 sin 2(|x + π _ m)| = 2 sin (|2x + π _ 2m)|，
π
由题意得 _ 2m = kπ， k = Z，
4
∴m = _ kπ + π， k = Z .
2 8
π
min 8
又 m＞0， ∴ 当 k = 0 时， m = ，
此时 g(x) = 2 sin 2x 的图像关于原点中心对称.
22. 【答案】解： (1) ∵f (x) = 3sin |2ox + |+1，
( π )
又函数 f (x) 的最小正周期为 π ，
2
2π π
∴ = ， ∴o = 2，
2o 2
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4 12
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π
3
∴f (x) 3sin 4x 1 .
令 4x π kπ， k Z ，得 x kπ π ，
3 4 12
其图像对称中心为 ,1 (k Z) .
kπ π
(2)由题意得3sin2x 3msin x m 2 0 . 2 2
∵x[0,2π]， ∴ x [0,π]，
2
3sin 2 2
2
3sin x 1 .
2
x
∴sin x [0,1]， m
2
x
设 t 3sin x 1， t [1,4]，则 sin x t 1 .设 y 3sin 2 2 2 ，
2 2 3 3sin x 1
2
1
则 y 3 9 (t 1)2 2 t2 2t 5 1 t 5 2 在t [1,4]上是增函数.
t 3t 3 t
∴当 t 1时， ymin 2， ∴ m 2 .
故实数 m 的取值范围是(, 2] .
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