人教版B版(2019)高中数学必修第三册：第七章 三角函数 综合测试(含答案与解析).docx

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根第七章综合测试一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的)1. 已知点 P(tana,cosa) 在第三象限，则角a 的终边在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数a 是( )A. 1 B.4 C. 1 或 4 D.2 或 43. 已知 sin( +a ) = - 1 ，则 tana = ( )32 2A. 2 2 B. C. 土 D. 土2 2 4 44.若将函数 f (x) = sin (|(2x+ 4()|的图像向左平移Q(Q0) 个单位长度，所得图像关于原点对称，则Q 的最小值( ) 3 3A. B. C. D. 8 4 8 45.若 f (cos x) = cos2 x ，则 f (sin15。)的值为( )1 / 143A. -23B.21C. 21D. - 26.设函数 f (x) = cos (|(x + 3()| ，则下列结论错误的是( )A. f (x) 的一个周期为 -2B. y = f (x) 的图像关于直线 x = 8 对称 3C. f (x +) 的一个零点为 x = 6知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根D. f (x) 在(|(2() , )| 上单调递减2cos(a - 2)7. 已知角 a 的终边上有一点 P(1,3) ，则 sin( - a) - sin (|(2() +a)| 的值为( )4A. 1 B. - C. -1 D. -453cos a - sina8. 已知 sina + 3cos a = 5，则sin2a - sinacosa 的值是( )2 2A. B. - C. -2 D.2 5 59. 将函数 y = sin (|(2x - 3()| 图像上的点 P (|(4() , t)| 向左平移 s (s0)个单位长度得到点 P . 若 P 位于函数y = sin2x 的图像上，则( )1 A. t = ， s 的最小值为要2 63 B. t = ， s 的最小值为2 61 C. t = ， s 的最小值为2 33 D. t = ， s 的最小值为系2 310. 函数 f (x) = sin(2x +p)(|(|p| 2()|的图像向左平移 6() 个单位长度后所得图像对应的函数是偶函数，且存在 x = 0, 2() ，使得不等式 f (x) m 成立，则m 的最小值是( )1 1A. -1 B. - C. D. 1 2 211. 已知函数 f (x) = Asin(ox +p)(A0,o0,0p) 的部分图像如图所示，且 f (a ) = 1， a =(|(0, 3()| ，则2 / 14知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根cos (|(2a + 6(5)| = ( )2 2 2 2 2 2 1A. 土 B. C. - D. 3 3 3 312. 将函数 f (x) = sin 2x 的图像向右平移 p (|(0p2()| 个单位长度后得到函数 g(x) 的图像 . 若对满足f (x )- g (x ) = 2 的x ， x ，有 x - x = ，则p = ( )1 2 1 2 1 2 min 33 / 145A. 12B. 3C. 4D. 6二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若 f (x + 2) = 则 f (|( 3() + 2)| f (-98) =_.14.若函数 f (x) = sin (|(ox+ 6()|(o =N *)在区间 上单调递增，则 o 的最大值为_.15.如图是某个弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动 的函数解析式是_.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根(sin x, sin x cos x,lcosx, sin xcosx,16.对于函数 f (x) = 给出下列四个命题：该函数是以 为最小正周期的周期函数；当且仅当 x = + k(k =Z) 时，该函数取得最小值 -1；该函数的图像关于直线 x = 5 + 2k(k =Z) 对称； 44 / 14当且仅当 2kx + 2k(k =Z) 时， 0f (x) 22.其中正确命题的序号是_. (请将所有正确 2命题的序号都填上)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.10 分已知tana = 3 ，求下列各式的值：(1)3cos(- - a) - sin( +a)3 cos (|( 2() +a)| + sin (|( 2(3) - a)|(2) 2sin2a - 3sin a cosa - 1 .1812 分已知函数 f (x) = Asin(ox +p)(A0,o0|p | 2()| 的部分图像如图所示.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根0(1)写出函数 f (x) 的解析式及 x 的值；(2)求函数 f (x) 在区间上的最小值与最大值.19.12 分某实验室一天的温度(单位： )随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系： f (t) = 10 - 3cos t - sin t， t =0,24) .12 12(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？20.12 分在某地，估计某一天的白昼时间的小时数D(t) 的表达式是 D(t) = 3sin 365(2)(t - 79) +12 ，其中 t表示某 365 天的序号， t = 0 表示 1 月 1 日，依此类推.5 / 14知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根(1)问哪一天白昼时间最长？哪一天最短？(2)估计在该地一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 小时？( 4 )21.12 分已知函数 f (x) = 2 cos (|2x - )|， x = R .(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；(2)当x = 时，方程 f (x) = k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围；( 4 )(3)将函数 f (x) = 2 cos (|2x - )| 的图像向右平移m(m0) 个单位长度后所得函数 g(x) 的图像关于原点中心对称，求m 的最小值.( 3 ) 222.12 分已知函数 f (x) = 3sin (|2ox+ )| +1(o0) ，且 f (x) 的最小正周期为 .(1)求函数 f (x) 的解析式及 f (x) 图像的对称中心；2 L (8 12 ) (2)若3sin2x - 3m|f (|x - )| - 1| m + 2 对任意 x =0,2 恒成立，求实数m 的取值范围.6 / 141 1 3 1知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根第七章综合测试答案解析一、1. 【答案】 B2. 【答案】 C3. 【答案】 C4. 【答案】 C5. 【答案】 A6. 【答案】 D7. 【答案】 A2cos(a _ 2) 2cos a【解析】根据任意角的三角函数定义可得 tana = 3 ，所以 = sina _ cosa= tana _ = _ = 1 .故选 A. 2 2 2 28. 【答案】 A【解析】由 = 5，得12cos a = 6sin a，即 tana = 2 ，所以 sin2 a _ sinacosa = = = 5(2) .9. 【答案】 A【解析】根据三角函数图像中点的变换关系求解.(4 ) ( 3 )t = sin (|2 根 _ )| = sin = 1 ，所以 P (| , 1 )| .将成 P 向左平移s(s0) 个单位长度得P (| _ s, 1 )| . 因为 P因为点 P (| , t)| 在函数 y = sin (|2x _ )| 的图像上，所以.( 4 3 ) 6 2 (4 2 ) (4 2 )7 / 14知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根在函数 y = sin 2x 图像上， 所以sin 2(|(4() _ s)| = 2(1)， 即 cos2s = 2(1)， 所以 2s = 2k + 3() 或 2s = 2k + 3(5)(k =Z)，即 s = k+ 或 s = k+ 5 (k =Z) ，所以 s 的最小值为 .6 6 610. 【答案】 B11. 【答案】 C【解析】由图易得 A = 3 ，函数 f (x) 的最小正周期T = o(2) = 4 根 (|(1(7)2() _ 3()| ，解得 o = 2 ，所以f (x) = 3sin(2x +Q ) .又因为点 (|(3() , _3)|在函数图像上，所以 f (|( 3()| = 3sin (|(2 根 3() + Q )| = _3，所以 2 根 +Q = + 2k， k = Z， 33 2解得Q = + 2k， k = Z .56又因为0Q ，所以Q = 6(5) ，所以 f (x) = 3sin (|(2x+ 6(5)| .当 a =(|(0, 3()| 时， 2a + 6(5) = )| .又因为 f (a) = 3sin (|(2a + 6(5)| = 1，所以 sin (|(2a + 6(5)| = 3(1)0，所以 2a + 6(5) =(|(6(5) , )|，8 / 14知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根所以 cos (|(2a + 6(5)| = 一 1 一 sin2(|(2a + 6(5)| = 一 2 32 ，故选 C.12. 【答案】 D【解析】先求出g(x) ，表示出 f(x )一 g (x ) ，再结合三角函数的性质求解.1 2因为 g(x) = sin2( x 一Q) = sin(2x 一 2Q)，所以 f (x )一 g (x )|=| sin2x 一 sin(2x 一 2Q )|= 2 .1 2 1 2因为 一1 sin 2x 1， 一1 sin(2x 一 2Q ) 1，1 2所以sin2x 和sin(2x 一 2Q)的值中，一个为 1，另一个为 一1，1 2不妨取sin 2x = 1， sin(2x 一 2Q )= 一1 ，则 2x = 2k + ， k = Z，1 2 1 1 2 19 / 14 2x 一 2Q = 2k 一 ，2 2 2k = Z， 2x 一 2x + 2Q = 2 (k 一 k ) + ，2 1 2 1 2(k 一 k )= Z，1 2得 x 一 x = (k 一 k ) + 一 Q .1 2 1 2 2 因为 0Q ，所以 0 一 Q ，2 2 2故当 k 一 k = 0 时，1 2 x 一 x = 一 Q = ，则Q = ，故选 D.1 2 min 2 3 6二、13. 【答案】 2 3【解析】 f (|(3() + 2)| = tan 3() = 3， f (一98) = f (一100 + 2) = lg100 = 2， f (|(3() + 2)| . f (一98) = 3 根 2 = 2 3 .14. 【答案】 9| o + 2k + ,|l4 62知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根10 / 14【解析】因为函数12k - 4 o 8k + 43f (x) = sin (|(ox+ 6()|(o =N*)在区间 上单调递增，所以有， k = Z . 由 12k - 4 8k + 4 ，得 k 4 .3 32k - ,( 2即|6 o + 6当 k = 1 时， o = 8, 3(28) ，所以正整数o 的最大值为 9.15. 【答案】 y = 2sin (|(2(5) x + 4()|【解析】设函数解析式为 y = Asin(ox +v)(A0,o 0). 由图像知 A = 2， T = 0.8，所以 o = 2 = 2 = 5 .0 T 0.8 2又函数图像过点(0.1,2) ，所以2 = 2sin (|(4() +v)| ，所以v = 2k + 4() ， k = Z .不妨取v = 4() ，则其函数解析式为 y = 2sin (|(2(5)x + 4()| .16. 【答案】【解析】画出 f (x) 在0,2 上的图像，如图所示 . 由图像知，函数 f (x) 的最小正周期为 2 ，在当x = + 2k(k =Z) 和x = 3 + 2k(k =Z) 时，该函数都取得最小值-1；故错误. 由图像知，函数图像关2于直线 x = 5 + 2k(k =Z) 对称，在当 2kx + 2k(k =Z) 时， 0f (x) 2 ，故正确 .4 2 2三、17. 【答案】解： (1)原式 = - 3 cosa + sina = - 3 + tana = 3 - 3 = 6 - 5 3 .- 3sin a - cosa - 3 tana - 1 -3 3 - 1 132sin 2 a - 3sin a cosa - sin2 a - cos2 a(2)原式 = sin2 a +cos2 a 2tan 2 a - 3tan a - tan2 a - 1 18 - 9 - 9 - 1 1= tan2 a + 1 = 9 + 1 = - 10 .18. 【答案】解： (1) A0， o0， 由函数图像可知 A = 2，知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根T = o(2) = 2 x0 - (|(x0 - 2()| = ，解得o = 2 .又 函数图像过点 (|(112(3) ,2 )|， 2 = 2sin (|(2 根 112(3) +v )|，2 根 13 +v = 2k + ， k =Z ，即v = 2k - 5 ， k = Z .12 2 3又|v | 2()， v = 3()， f (x) = 2sin (|(2x + 3()| .由函数图像可得2sin (|(2x0 + 3()| = 2， 2x + = 2k + ， k = Z ，即 x = k - ， k = Z .0 3 4 0 2413 13 23又 - x ， x = .12 4 0 12 0 24(2)由 x = - ，可得2x + 3() = - .当 2x + 3() = - 6() ，即 x = - 4() 时， f (x)min= f (|(- 4()| = -1；当 2x + 3() = 2() ，即 x = 12() 时， f (x)max = f (|(12()| = 2 .19. 【答案】解： (1)因为 f (t) = 10 - 2 (|( 23 cos 12() t + 2(1) sin 12() t)| = 10 - 2sin (|(12() t + 3()|，又 0 t24 ，所以 3() 12() t + 3() 3(7) ， -1 sin (|(12()t + 3()| 1 .当 t = 2 时， sin (|(12() t + 3()| = 1；11 / 14( 4 )知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根(12 3 )当 t = 14 时， sin (| t + )| = -1.于是 f (t) 在0,24) 上的最大值为 12，最小值为 8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为 4 .(2)依题意，当 f (t)11 时实验室需要降温.(12 3 )故有10 - 2sin (| t + )|11 ，即 sin (| t + )|- 1 .由(1)得 f (t) = 10 - 2sin (| t + )|，(12 3 ) (12 3 ) 2又 0 t24 ，因此 7 t + 11 ，即10t18 .6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温.20. 【答案】解： (1)白星时间最长的一天，即D(t) 取得最大值的一天，此时t = 170 ，对应的是 6 月 20 日 (间年除外) .类似地， t = 353 时， D(t) 取得最小值，即 12 月 20 日白昼最短.(2) D(t)10.5 ，即3sin 365(2) (t - 79) +1210.5，sin 365(2) (t - 79) - 2(1)， t =0,365，49t292， 292 - 49 = 243 . 该地一年中约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时.21. 【答案】解(1)因为 f (x) = 2 cos |2x - | .( )所以函数 f (x) 的最小正周期为T = 2 = .2由 - + 2k 2x - 2k， k = Z，412 / 14( 8 ) (8 ) (2 ) ( 4 ) 4( 3 )知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根得 _ 3 + k x + k， k = Z .8 8故函数 f (x) 的单调递增区间为 _ 8(3) + k, 8() + k(k = Z) .(2)因为 f (x) = 2 cos (|(2x _ 4()|在区间 上为增函数，在区间 上为减函数.又 f | _ | = 0， f | | = 2， f | | = 2 cos | _ | = _ 2 cos = _1，( ) ( ) ( ) ( ) 当k =0, 2) 时方程 f (x) = k 恰有两个不同的实数根.( 4 ) ( 4 ) ( 8 )(3) f (x) = 2 sin (|_2x + 3)| = 2 sin (|2x + )| = 2 sin 2(|x + )|，( 8 ) ( 4 )g(x) = 2 sin 2(|x + _ m)| = 2 sin (|2x + _ 2m)|，由题意得 _ 2m = k， k = Z，4m = _ k + ， k = Z .2 8min 8又 m0， 当 k = 0 时， m = ，此时 g(x) = 2 sin 2x 的图像关于原点中心对称.22. 【答案】解： (1) f (x) = 3sin |2ox + |+1，( )又函数 f (x) 的最小正周期为 ，22 = ， o = 2，2o 213 / 14 4 12 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。 -培根 3 f (x) 3sin 4x 1 .令 4x k， k Z ，得 x k ，3 4 12其图像对称中心为 ,1 (k Z) .k (2)由题意得3sin2x 3msin x m 2 0 . 2 2x0,2， x 0,，23sin 2 223sin x 1 .2xsin x 0,1， m2x设 t 3sin x 1， t 1,4，则 sin x t 1 .设 y 3sin 2 2 2 ，2 2 3 3sin x 121则 y 3 9 (t 1)2 2 t2 2t 5 1 t 5 2 在t 1,4上是增函数.t 3t 3 t 当 t 1时， ymin 2， m 2 .故实数 m 的取值范围是(, 2 .14 / 14