求数列的通项公式常用方法 - 副本.doc

求数列的通项公式之常用方法 湖北省建始县民族高级中学 胡贻富一、观察法例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1） ，（2） ，（3） 或，（4） ，（5） ，（6） 或二、公式法(1)、已知数列为等差数列，公差为，则数列的通项公式（，）；(2)、已知数列为等比数列，公比为，则数列的通项公式（，）；(3)、已知数列的前项和为，则 例2 已知数列的前项和为，根据下列条件分别求它们的通项.（1）；（2）.解：（1）当时，；当时，显然满足.故数列的通项公式，.（2）当时，；当时，.显然不满足.故数列的通项公式 例3、已知正项数列满足，求数列的通项公式.方法一（消留）当时，.当时，整理得，数列是正项数列，（），故数列是以首项，公差为2的等差数列，数列的通项公式，.方法二（消留）根据题意可知，.当时，=，整理得，则，即（）.故数列是以为首项，1为公差的等差数列，.故，.三、累加法例4 已知数列的首项为3，为等差数列且，.若，求数列的通项公式.解：设等差数列的公差为.，且，解得，.故等差数列的通项公式为，.，.因此，将上面的式子相加得，即，.【题后悟道】对形如（）或，的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出的关系式.四、累乘法例5 已知数列中，前项和为.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式.解：（1），解得；（2）方法一（累乘法），解得.当时，.当时，整理得，即（）.因此，将上面的式子相乘得，即，即（），显然满足.故数列的通项公式，.【题后悟道】对形如（）或，的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出的关系式.方法二（迭代法）,.五、构造新数列法例6、（P93典例3）已知数列中，求数列的通项公式.解：设，因为 ，.设，则，数列是以为首项，公比为3的等比数列，则，则，.【题后悟道】对形如“”的递推公式求通项公式，可将递推公式变形为，设，则.从而构造等比数列，求出，进一步求出.这种求数列通项公式的方法叫做构造等比数列法。例7 已知数列中，且.（1）求，的值；（2）设（），证明：是等差数列.（3）求数列的通项公式.解：（1）；.(2)由，且可得，（），则（）又，故数列是首项为0，公差为1的等差数列.（3）由（2）知，（）. ，（）.六、待定系数法例8 已知数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式.（2）记数列的前项和为，若，成等比数列，求正整数的值。解：（1）设等差数列的公差为，解得，（2由（1）可得.，成等比数列，.从而. 为正整数，.例9 设等比数列的前项和为，已知，求和.解：设等比数列的公比为，解得或当时，；当时，【题后悟道】若已知数列是等差或等比数列，只需构造方程（组）求出首项、公差、公比，便可写出通项公式.例10（倒数变换）已知数列中，求数列的通项公式.解：根据题意得（）. ，则.故数列是以为首项，2为公差的等差数列，（）例11、已知数列中，（，），求数列的通项公式.解：（，），则，令，则（）. 故数列是以为首项，1为公差的等差数列，（）.例12、已知数列中，（），求数列的通项公式.方法一：（），（），令（），（），又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，（），（），即（），变形为，即，变形为（）令（），则（）.故数列是以为首项，-3为公比的等比数列，（），则（），则（）.即数列的通项公式为（）.方法二：（），（）.令，则（）.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，（），则（），变形为（），则（），即（）.令，则（），（），故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，则，即（），.即数列的通项公式为（）.方法三：（），（），令（），（），又，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，（），（），（），（）.令，则（）.故数列是以为首项，3为公比的等比数列，（），则（），由-得，（），整理得（）.例13（对数变换）已知数列中，（），求数列的通项公式.解：，（），则（）.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，（）. （）.14（常数变换）已知数列中，求数列的通项公式.解：（），（），即（），令，则（），则（）.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，（）. ，（）.例15、已知数列的前项和为（）.（1） 求数列的通项公式；（2） 若，求.解：（1）（），（），由-得，（）整理得，（），两边同除以得，（）.令，则（）. ，则，故数列是以为首项，1为公差的等比数列，（）.则，即（）.（2）及可得，（）.则由-得，即，（）