求数列通项公式的6种方法.doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：练习2.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1.。 -适用于： -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若，则两边分别相乘得，例4.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型例6已知数列中，求数列的通项公式。解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习已知数列中，求通项。答案：2形如： (其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略*3形如 (其中k,b是常数，且)例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.*5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案： .四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，五、由和求通项已知数列的各项均为正数，且前n项和满足求数列的通项公式。例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：对任意有 当n=1时，解得或当n2时， -整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.答案： 定义法16已知等比数列的公比q=3，前3项和（I）求数列的通项公式；