求数列通项公式的6种方法.doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
倒数变换法、
由和求通项
定义法
（根据各班情况适当讲）
二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法
1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：由得则
所以
解法二：两边除以，得，
则，故

因此，
则
练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：
练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、累乘法
1.○。 ------------适用于： ----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则
两边分别相乘得，
例4.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1), 即
时，
==.
评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.已知,求数列{}的通项公式.
三、待定系数法 适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中)型
例6已知数列中，，求数列的通项公式。
解法一：

又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
解法二：

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
练习．已知数列中，求通项。
答案：
2．形如： (其中q是常数，且n0,1)
①若p=1时，即：，累加即可.
②若时，即：，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
**3．形如 (其中k,b是常数，且)
例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）
解：， ①
时，，
两式相减得 .令,则
利用类型5的方法知 即 ②
再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.
**5.形如时将作为求解
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
练习.数列中，若,且满足,求.
答案： .
四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，

五、由和求通项
已知数列的各项均为正数，且前n项和满足求数列的通项公式。
例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有 ⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时， ⑵
⑴-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：
定义法
16．已知等比数列的公比q=3，前3项和
（I）求数列的通项公式；