求数列通项公式的八种方法.doc

(完整版)求数列通项公式的八种方法求数列通项公式的八种方法一、公式法(定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法 1、累加法 适用于: 若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为.例2 已知数列满足，求数列的通项公式.解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则2、累乘法 适用于: 若,则两边分别相乘得，例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以,则，故所以数列的通项公式为三、待定系数法 适用于分析：通过凑配可转化为； 解题基本步骤：1、确定2、设等比数列，公比为3、列出关系式4、比较系数求，5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例4 已知数列中，求数列的通项公式。解法一: 又是首项为2，公比为2的等比数列 ,即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的例5 已知数列满足，求数列的通项公式.解法一：设,比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二： 两边同时除以得：，下面解法略注意：例6 已知数列满足,求数列的通项公式.解:设 比较系数得， 所以 由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。注意：形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式，比较系数可求得,数列为等比数列.例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取,则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以四、迭代法例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为,所以又，所以数列的通项公式为.注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例9 已知数列满足,求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设(同类型四）比较系数得， 由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。 2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列,首项，公差为,3、换元法 适用于含根式的递推关系例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则代入得即因为, 则，即,可化为，所以是以为首项,以为公比的等比数列，因此，则，即，得。六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及,得由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即,则当时，由此可知，当时等式也成立.根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。七、阶差法 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例13 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：对任意有 当n=1时，,解得或当n2时， 整理得:各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以2、对无穷递推数列例14 已知数列满足，求的通项公式.解:因为所以用式式得则故所以由，,则，又知，则,代入得。所以，的通项公式为八、不动点法不动点的定义：函数的定义域为,若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解.类型一：形如例 15 已知数列中，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1，类型二：形如分析:递归函数为（1）若有两个相异的不动点p，q时，将递归关系式两边分别减去不动点p，q，再将两式相除得，其中，（2）若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例16 已知数列满足,求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列,故,则。