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求数列通项公式的常用方法
一、累加法
1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．解题步骤：若，
则
两边分别相加得
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
练习. 已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：裂项求和
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、累乘法
1. ○。 ------------适用于： ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
2．解题步骤：若，则
两边分别相乘得，
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
练习. 已知,求数列{an}的通项公式
答案：-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法 适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中)型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
解题步骤：设，得，与题设比较系数得，所以 ，所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以 即：.
例3 已知数列中，，求数列的通项公式。
解：
又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即
练习．已知数列中，求通项
答案：

2．形如： (其中q是常数，且n0,1)
①若p=1时，即：，累加即可.
②若时，即：，
求通项方法有以下三种方向：
i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即： ,令，则，然后累加求通项.
ii. 两边同除以， 目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,
令，则可化为，然后转化为待定系数法第一种情况来解。
iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
3．形如 (其中k,b是常数，且)
待定系数法解题步骤：
通过凑配可转化为 ；
比较系数求x、y；解得数列的通项公式；得数列的通项公式。
例5 . 在数列中，,求通项.（待定系数法）
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项，公比为。 即： ， 故。
练习 在数列中，求通项.（逐项相减法）
解：， ① 时，，
两式相减得 .令，则
知 即 ②
再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.
4．形如 (其中a,b,c是常数，且)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例6 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得，
所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
5.形如时将作为求解
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例7 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
练习.数列中，若,且满足,求.
答案： .
四、不动点法
目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，再变形求解。
类型一：形如
例8 已知数列中，，求数列的通项公式。
解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：形如
分析：递归函数为
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。
例9. 设数列满足,求数列的通项公式.（答案：）
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时加参数t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列, =, 解得.
练习. 已知数列满足，求数列的通项
答案：

五、对数变换法
适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例10. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
答案：
六、倒数变换法
适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，

七、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例12 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有 ⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时， ⑵
⑴-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
练习. 已知数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：