第4节-等可能概型（古典概型）PPT课件.ppt

一、等可能概型一、等可能概型二、典型例题二、典型例题三、小结三、小结第四节第四节 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)1.等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)定义定义一、等可能概型一、等可能概型(古典概型古典概型)注：注：“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，是一种假设，在实际应用中，我们需要我们需要根据实际情况去判断根据实际情况去判断是否可以认为各基本事是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的件或样本点是等可能的.在许多场合，由在许多场合，由对称性对称性和和均衡性均衡性，我们就可以认为，我们就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上计算事件的概率基本事件是等可能的，并在此基础上计算事件的概率.设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件，且包含的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事个样本点，则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.解古典概型问题的两个要点：解古典概型问题的两个要点：1.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是是否有限和等可能性否有限和等可能性；2.计算古典概型的关键是计算古典概型的关键是“记数记数”，这主要利用，这主要利用排列与组排列与组合合的知识的知识 (1)(1)加法原理：加法原理：设完成一件事有设完成一件事有k类类方法，每类又分方法，每类又分别有别有m1,m2,mk种方法，而完成这件事只需其中一种种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有方法，则完成这件事共有m1+m2+mk种方法种方法 (2)(2)乘法原理：乘法原理：设完成一件事有设完成一件事有n个个步骤步骤第一步有第一步有m1种方法、第二步有种方法、第二步有m2种方法，种方法，第第n步有步有mn 种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有m1 m2 mn种方法种方法.求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事基本事件总数件总数和对所求概率事件和对所求概率事件有利的事件个数有利的事件个数 例如：从例如：从3个元素取个元素取出出2个的排列总数有个的排列总数有6种种(3)(3)、不同元素的选排列、不同元素的选排列 从从n个不相同的元素个不相同的元素中中无放回无放回取取k个排成一列个排成一列(k n)，称为从，称为从n个不同元素中取个不同元素中取k个元素的选排列个元素的选排列,共有共有 种。种。当当 n k 时，称时，称n个元素的全排列共有个元素的全排列共有n！种。种。(4)(4)、不同元素的重复排列、不同元素的重复排列例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法从从n个不同的元索个不同的元索中，中，有放回有放回地取地取k个元素进行的排个元素进行的排列，共有种（元素允许重复列，共有种（元素允许重复 ）。）。(5)(5)、不全相异元素的排列、不全相异元素的排列(分堆分堆)在在n个元素中，有个元素中，有m类不同元素类不同元素、每类各有、每类各有k1,k2,km 个，将这个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：个元素作全排列，共有如下种方式：k1个个元素元素k2个个元素元素km个个元素元素n个个元素元素因为因为:(6)(6)、组合、组合从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列个而不考虑其次序的排列（组合），共有（组合），共有 种种.(7)(7)、环排列、环排列 从从n个不同元素个不同元素中，选出中，选出m个不同的元素排成一个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：个圆圈的排列，共有：4123412311242343每个排列每个排列重复了重复了4次次排列数为排列数为特别地特别地,m=n时时,上式为上式为(n-1)!3.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1)无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设设袋中有袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球,现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求求这这2只球都是白球只球都是白球的概率的概率.解解基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为(2)有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设设袋中有袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求求前前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为注：古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型注：古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述型就可以描述产品的抽样检查问题产品的抽样检查问题，假如产品分为更多，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述练习练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位不能为不能为0，求，求数字数字0出现出现3次次的概率的概率.2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求求点数之和为点数之和为4的的概率概率.4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入盒模型球放入盒模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中个杯子中去去,求求第第1 1、2个个杯子中各有两个球杯子中各有两个球的概率的概率,其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球.4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法因此第因此第1、2个杯子中各有个杯子中各有两个球的概率为两个球的概率为(2)每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球,求求第第1 至第至第4个杯子各放一个球个杯子各放一个球的概率的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求求有有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日日的概率的概率.练习练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求试求每个房间恰有每个房间恰有1人人的概率的概率.解解二、典型例题二、典型例题在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中其中恰有恰有k 件次品的取法共有件次品的取法共有于是所求的概率为于是所求的概率为解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有超几何超几何分布概分布概率公式率公式次品次品正品正品D件次品件次品 N-D件正品件正品例例3 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解随机取数问题随机取数问题于是所求概率为于是所求概率为例例4 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为因此所求概率为(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为因此所求概率为例例5 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有周一周一周二周二周三周三周四周四周日周日123412周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四123412 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为概率非常小的事件，称为概率非常小的事件，称为概率非常小的事件，称为概率非常小的事件，称为小概率事件小概率事件小概率事件小概率事件实际推断原理实际推断原理:小概率事件在一次试验中几乎不可能小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的发生的。由此知接待站的接待时间是有规定的由此知接待站的接待时间是有规定的例例6 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 n 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率.解解我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：(1)有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分被分在在 N 间房的每一间中间房的每一间中.人人房房注：注：1、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏不要重复计数，也不要遗漏;1)求求指定的指定的n间房间房中各有一人的概率中各有一人的概率2)求每间房中至多有一人的概率求每间房中至多有一人的概率或或 n个人被分在不同房间的概率个人被分在不同房间的概率3)求某求某指定一间房恰有指定一间房恰有m(mn)人人的概率的概率 (2)有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率个人，设每个人的生日是任一天的概率为为1/365.求这求这n(n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天 (3)有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每个站，设每个人在每站下车的概率为人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的，求指定的n个个站各有一人下车的概率站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型.箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型 古典概率古典概率几何概型几何概型试验结果试验结果连续无穷连续无穷四、小结四、小结 思考题思考题 某人将三封写好的信随机装入三个某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？概率是多少？这是一个这是一个配配对对问问题题解：设解：设Ai=第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i=1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地址直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算 =至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址则则其中：其中：于是于是:推广到推广到n封信封信,用类似的方法可用类似的方法可得得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写个写好地址的信封中好地址的信封中,没有一封信没有一封信配对的概率为配对的概率为:思考题思考题 从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?解：解：A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双只鞋子中至少有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双只鞋子中没两只鞋子配成一双 思考题思考题 有有n个人排队，排成一圈，求甲、乙个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少两人相邻的概率是多少?解：排成一圈是环排列，解：排成一圈是环排列，n个人的环排列有个人的环排列有(n1)!种，种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一一2)!种，考虑互种，考虑互换性，有利事件有换性，有利事件有2(n一一2)!种故：种故：更为简单的想法是：设想一个圆周上：有更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，个位置，甲占了一个位置后，乙还有甲占了一个位置后，乙还有n一一1个位置可选，其中与个位置可选，其中与甲相邻的位置有甲相邻的位置有2个所以个所以:定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量任意一点落在度量(长度、长度、面积、体积面积、体积)相同的相同的子区域是等可能的，则事件子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为当古典概型的试验结果为连续无穷多个连续无穷多个时时,就归结为几何概型就归结为几何概型.自学自学 几何概型几何概型 那么那么 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在在预定地点会面预定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻这段时间内各时刻到达该地是等可能的到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵且两人到达的时刻互不牵连连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解故所求的概率为故所求的概率为若以若以 x,y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标,则有则有