二次函数背景下的相似三角形.doc

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二次函数背景下的相似三角形

1. 会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；
2. 掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；
3. 能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；
4. 体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；
5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴，可以再黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数，部分地方让学生独立完成，如果学生有困难，可以举实际例子让学生画图总结得出；3.和学生一起分析二次函数背景下相似三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。
一.二次函数知识点梳理：下图中

二.特殊的二次函数：下图中

三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：
1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

【备注】：
1. 以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；
2. 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；
3. 可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；
4. 例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
5. 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；
6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

例1.已知：如图，直线与轴、轴分别相交于点和点．抛物线经过、两点。（★★★★）
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若这抛物线的顶点为点，与轴的另一个交点为点．对称轴与轴交于点，若点是线段的中点。与交于点，点在轴的正半轴上，△是否能够与△相似？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由。

【参考教法】：
一．我们来一起分析一下题目吧！有没有注意到一些特殊的条件，我们来分一下！
1.点有什么特点？提示：为中点、为中点，则为重心；
2.的坐标可以求解吗？
3.点在运动时，位置有什么要求？提示：在轴的正半轴上
二．求解二次函数的解析式，有点简单，你算下。提示：二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）；

三. 当△与△相似时：
1. 两个三角形中是否有恒相等的角？提示：；
2. 是否需要分类讨论？提示：分2类讨论；
3.怎么讨论？提示：因为，则分两个情况讨论：
①.当△∽△时：，可直接求得点的坐标；
②.当△∽△时：，可直接求得点的坐标。
4.怎么计算？提示：因为△与△的边长都可以直接计算求解得出，所以相似时可以直接计算。
5.在分析的过程中，注意及时画图哦！体会数形结合的思想。

四．本题求解完了吧！你有什么感想没？

【满分解答】：
解：（1）直线与轴、轴的交点和点
由已知，得，可以解得.
∴抛物线的解析式为.
解：（2）抛物线的解析式可变形为，
所以顶点坐标为（9，12）.
设，则，
∴.
∴，
所以点的坐标为（3，0）.
因为点是线段的中点，点是线段的中点，
∴点是△的重心.如图，
∴，
∴，.
当△∽△时，，
即
∴.
当△∽△时，，
即，
∴. ∴.
∴△能够与△相似，相似时点P的坐标为或.

练习1.已知二次函数.（★★★★）
（1）求此二次函数图像与轴交点、（在的左边）的坐标；
（2）若此二次函数图像与轴交于点，且△∽△（字母依次对应）.
①求的值；
②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标。
【解法点拨】：
1.二次函数图像与轴交点，令可求解得出；（让学生自己计算）
2.当△∽△时，则，可得的值；
3.求解出二次函数的解析式后，将两个对称点设为和
，则由对称性列方程求解；
4.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）令
解得，
所以A（，0），B（3,0）.

（2）①易知，由△AOC∽△COB，
则，即，
解得（舍负）.
②此时函数解析式为，
设函数图像上两点，，
由两点关于原点中心对称，得：
=
解得，
∴这两个点的坐标为与.

例2.已知：如图六，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y＝ax＋3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12。
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若线段DO与AB交于点E，以点 D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。（★★★★）
BO
CO
O
y
AO
x
D
（图六）

【参考教法】：
一．和之前一样，我们还是来寻找一下题目中的已知两吧！提示：
①二次函数与一次函数相较于轴上的同一点，并且，则；
②矩形ABCO的面积为12，可得到；

二． 求解二次函数的对称轴，你会怎么求解？提示：对称轴可以根据、的对称性得到；

三． 当三角形△DAE和△DAO相似时：
1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示：为公共角；
3. 是否需要分类讨论？提示：分2类讨论；
3.怎么讨论？提示：因为为公共角，则分两个情况讨论：
①.当时：与已知条件矛盾，此情况不成立；
②.当时：D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N；
则可得△DAM∽△DON，所以，从而可以求出点坐标。
4. 每一个情况你会求解吗？试一试！提示：让学生自己计算；
5.注意：
①.二次函数中求解点的坐标时，通常情况下需过点作坐标轴的垂线；
②.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）∵直线y＝ax＋3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3）
∴AO＝3，∵矩形ABCO的面积为12，∴AB＝4
∴点B的坐标为（4，3）∴抛物线的对称轴为直线x＝2
（2）①设△DAE∽△DAO，则∠DAE＝∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N．
设点D坐标为（2，y），则ON＝DM＝2，DN＝OM＝y，AM＝y－3
②设△DAE∽△DOA，则∠DAE＝∠DOA，∴∠DAM＝∠DON
∵∠DMA＝∠DNO＝90°，∴△DAM∽△DON
∴，∴， ∴ ∴（舍），
∴点D坐标为（2，4）
设抛物线解析式为
∵顶点坐标为（2，4），∴m＝ －2，k＝4，则解析式为
将（0，3）代入，得a＝，∴抛物线解析式为．

二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：
1. 根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；
2. 待定系数法求解相关函数的解析式；
3. 相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；
4. 当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；
5. 根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；
6.注意利用好二次函数的对称性；
7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
（引导学生对前面例题中的一些解题方法总结，大概5分钟左右）

（该部分需要学生在15分钟内独立完成，之后再评分并讲评）
1. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C。（1）求平移后抛物线的函数解析式；（4分）
x
y
0
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标。（★★★★）（10分）

【解法点拨】：
1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：
①点的坐标不变；
②点P在平移后抛物线的对称轴上；
③PA∥BC，得到∠PAB=∠ABC。
2.根据题目可求得平移后的抛物线解析式为；
3.根据题目求的坐标（可让学生自己求解）；
4.当△ABP与△ABC相似时注意分类讨论，PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC，
则分两个情况讨论：
①当∠PBA=∠BAC时：PB∥AC，∴四边形PACB是平行四边形；
②当∠APB=∠BAC时：，则，直接计算。
5.二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；
6.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）平移后抛物线的解析式为．...................4分
（2）∴A点坐标为（2，1），................................1分
设直线OA解析式为，将A（2，1）代入得，直线OA解析式为.1分
将代入得，∴C点坐标为（3，）．................................1分
x
y
0
A
B
C
P
将代入得，∴B点坐标为（3，3）．................................1分
∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC................................1分
1°当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，................................1分
∴． ∴．................................1分
2°当∠APB=∠BAC时，
，∴．................................1分
又∵，
∴ ∴................................1分
综上所述满足条件的点有，．................................1分

批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结.建议时间2-3分钟。

【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。

教师：本专题你有哪些收获和感悟？

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