二次函数背景下的相似三角形.doc

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二次函数背景下的相似三角形

1. 会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；
2. 掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；
3. 能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；
4. 体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；
5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴可以再黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数，部分地方让学生独立完成，如果学生有困难，可以举实际例子让学生画图总结得出；3.和学生一起分析二次函数背景下相似三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。
一.二次函数知识点梳理：下图中

二.特殊的二次函数：下图中

三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：
1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

【备注】：
1. 以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；
2. 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；
3. 可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；
4. 例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；
5. 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；
6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；
7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

例1.已知：如图，直线与轴、轴分别相交于点和点．抛物线经过、两点。（★★★★）
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若这抛物线的顶点为点，与轴的另一个交点为点．对称轴与轴交于点，若点是线段的中点。与交于点，点在轴的正半轴上，△是否能够与△相似？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由。

【参考教法】：
一．我们来一起分析一下题目吧！有没有注意到一些特殊的条件，我们来分一下！
1.点有什么特点？提示：为中点、为中点，则为重心；
2.的坐标可以求解吗？
3.点在运动时，位置有什么要求？提示：在轴的正半轴上
二．求解二次函数的解析式，有点简单，你算下。提示：二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）；

三. 当△与△相似时：
1. 两个三角形中是否有恒相等的角？提示
2. 是否需要分类讨论？提示：分2类讨论；
3.怎么讨论？提示：因为，则分两个情况讨论：
①.当△∽△时：，可直接求得点的坐标；
②.当△∽△时：，可直接求得点的坐标。
4.怎么计算？提示：因为△与△的边长都可以直接计算求解得出，所以相似时可以直接计算。
5.在分析的过程中，注意及时画图哦！体会数形结合的思想。

四．本题求解完了吧！你有什么感想没？

【满分解答】：
解：（1）直线与轴、轴的交点和点
由已知，得，可以解得.
∴抛物线的解析式为.
解：（2）抛物线的解析式可变形为，
所以顶点坐标为（9，12）.
设，则，
∴.
∴，
所以点的坐标为（3，0）.
因为点是线段的中点，点是线段的中点，
∴点是△的重心.如图，
∴，
∴，.
当△∽△时，，
即
∴.
当△∽△时，，
即，
∴. ∴.
∴△能够与△相似，相似时点P的坐标为或.

练习1.已知二次函数.（★★★★）

（1）求此二次函数图像与轴交点、（在的左边）的坐标；
（2）若此二次函数图像与轴交于点，且△∽△（字母依次对应）.
①求的值；
②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标。
【解法点拨】：
1.二次函数图像与轴交点，令可求解得出；（让学生自己计算）
2.当△∽△时，则，可得的值；
3.求解出二次函数的解析式后，将两个对称点设为和
，则由对称性列方程求解；
4.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）令
解得，
所以A（，0），B（3,0）.

（2）①易知由△AOC∽△COB，
则，即，
解得（舍负）.
②此时函数解析式为，
设函数图像上两点，，
由两点关于原点中心对称，得：
=
解得，
∴这两个点的坐标为与.

例2.已知：如图六，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y＝ax＋3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12。
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若线段DO与AB交于点E，以点 D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。（★★★★）
BO
CO
O
y
AO
x
D
（图六）

【参考教法】：
一．和之前一样，我们还是来寻找一下题目中的已知两吧！提示：
①二次函数与一次函数相较于轴上的同一点，并且，则；
②矩形ABCO的面积为12，可得到；

二． 求解二次函数的对称轴，你会怎么求解？提示：对称轴可以根据、的对称性得到；

三． 当三角形△DAE和△DAO相似时：
1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示：为公共角；
3. 是否需要分类讨论？提示：分2类讨论；
3.怎么讨论？提示：因为为公共角，则分两个情况讨论：
①当时：与已知条件矛盾，此情况不成立；
②.当时：D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N；
则可得△DAM∽△DON，所以，从而可以求出点坐标。
4. 每一个情况你会求解吗？试一试！提示：让学生自己计算；
5.注意：
①.二次函数中求解点的坐标时，通常情况下需过点作坐标轴的垂线；
②.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）∵直线y＝ax＋3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3）
∴AO＝3，∵矩形ABCO的面积为12，∴AB＝4
∴点B的坐标为（4，3）∴抛物线的对称轴为直线x＝2
（2）①设△DAE∽△DAO，则∠DAE＝∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N．
设点D坐标为（2，y），则ON＝DM＝2，DN＝OM＝y，AM＝y－3
②设△DAE∽△DOA，则∠DAE＝∠DOA，∴∠DAM＝∠DON
∵∠DMA＝∠DNO＝90°，∴△DAM∽△DON
∴，∴， ∴ ∴（舍），
∴点D坐标为（2，4）
设抛物线解析式为
∵顶点坐标为（2，4），∴m＝ －2，k＝4，则解析式为
将（0，3）代入，得a＝，∴抛物线解析式为．

二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：
1. 根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；
2. 待定系数法求解相关函数的解析式；
3. 相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；
4. 当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；
5. 根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；
6.注意利用好二次函数的对称性；
7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
（引导学生对前面例题中的一些解题方法总结，大概5分钟左右）

（该部分需要学生在15分钟内独立完成，之后再评分并讲评）
1. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C。（1）求平移后抛物线的函数解析式；（4分）
x
y
0
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标。（★★★★）（10分）

【解法点拨】：
1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：
①点的坐标不变；
②点P在平移后抛物线的对称轴上；
③PA∥BC，得到∠PAB=∠ABC。
2.根据题目可求得平移后的抛物线解析式为；
3.根据题目求的坐标（可让学生自己求解）；
4.当△ABP与△ABC相似时注意分类讨论PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC，
则分两个情况讨论：
①当∠PBA=∠BAC时：PB∥AC，∴四边形PACB是平行四边形；
②当∠APB=∠BAC时：，则，直接计算。
5.二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；
6.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：（1）平移后抛物线的解析式为．...................4分
（2）∴A点坐标为（2，1），................................1分
设直线OA解析式为，将A（2，1）代入得，直线OA解析式为.1分
将代入得，∴C点坐标为（3，）．......1分
x
y
0
A
B
C
P
将代入得，∴B点坐标为（3，3）．................................1分
∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC................................1分
1°当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，................................1分
∴． ∴．................................1分
2°当∠APB=∠BAC时，
，∴．........1分
又∵，
∴ ∴................................1分
综上所述满足条件的点有，．................................1分

批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结.建议时间2-3分钟。

【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。

教师：本专题你有哪些收获和感悟？

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