新人教版八年级数学下册知识点与典型例题解剖.doc

           人教版八年级数学下册各章节知识点与易错点
备课人 八年级数学组 赵慧芳
第16章二次根式
一、 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
二、取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
三、二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
（）
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
七、二次根式的运算
1、最简二次根式必须满足以下两个条件
（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.
2、乘法法则：=·（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.
3、除法法则： （b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.
4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.
5、二次根式的加减
（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。
6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。
有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。
小练习：1、（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？
（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？②
（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
（4）当时，有意义。
2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知y=++5，求的值．
4．若+有意义，则=_______．
5. 若有意义，则的取值范围是 。

最简二次根式 例2：把下列各根式化为最简二次根式：

同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式
分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。
求值：例5：计算：

分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。
化简：例6：化简：

分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。
例7：化简练习：

化简求值：
例8：已知： 求：的值。
分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。
解：
小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：在实数范围内因式分解： [来源:学*科*网Z*X*X*K]
1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】 2（x＋）（x－）
2、x4－2x2－3．【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．

例10、综合应用：
如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

第十七章    勾股定理 
基本内容：
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足。，那么这个三角形是直角三角形。 
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
考点分析：
考点一：利用求未知边。
如①在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为5或（注意分类讨论） ；
②印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃.
x
2
X+0.5
x
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥，试问水深尺若干？
问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？
分析：设水深为x尺，则荷花高为（x+0.5）尺，如图形成直角三角形
由勾股定理可列方程：，解之：x=3.75
③一棵大树离地面9米高处折断，树顶落在离树根底部12米远处，
求大树折断前的高度？答24米
考点二：直角三角形的判定问题
1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
3、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2

练习：1、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
3．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
考点三：互逆命题与互逆定理问题
1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
考点四：面积问题
1、已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；

⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
2、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
A
C
D
B
E
第1题图

考点五：折叠问题
1、 如图，有一个直角三角形，两条直角边AC=6cm,BC=8cm,现将
直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，
你能求出CD的长吗？

2．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，
BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6

考点六：无理数在数轴上表示问题
如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ B ）
A．+1 B．-1 C．-+1 D．

考点七：应用（航海、侧面展开图、最值，是否受污染问题）
例．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图（1），已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．
图（１）
Ａ
Ｃ
Ｂ
图（２）
分析：此题的难点在于将圆柱展开后，
纸带会发生什么样的变化，纸带被相
应剪断为相等的4段，随着圆柱而展开．
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图（2）
整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长
即可，在Rt△ABC中，AB=36，BC=
∴由勾股定理得AC=AB+BC=36+27
∴AC=45，故整个油纸的长为45×4=180（㎝）．
说明：此题对空间想象能力要求较高，一条曲线怎样随着圆柱的展开成为4条线段，同学们可以用纸卷成一个筒帮助自己分析一下，将曲线变成直线来解决问题．
1．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？

2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
图7
A
B
C
图6
Dˊ
A
B
C
D
Aˊ
Bˊ
Cˊ

3、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方
体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.

4．如图6，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从A出发沿着圆柱体的表面爬到点C的最短路程大约是（ ）
（A）6cm（B）12cm（C）13cm（D）16cm．
5、一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

6、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
（1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2） 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

第十八章    平行四边形
考点1.平行四边形的性质以及判定
性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等. 2）平行四边形对角相等，邻角互补.
3）平行四边形对角线互相平分. 4）平行四边形是中心对称图形.
判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
基础训练：1、能够判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A、一对角相等 B、两条对角线互相平分阶段 C、两条对角线互相垂直 D、一组邻角互补
2、判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A、AB∥CD，AD＝BC　 B、∠A＝∠B，∠C＝∠D C、AB＝CD，AD＝BC D、AB＝AD，CB＝CD
注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.
★1．如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长是（　　）　
A． 2 B． C．1 D．
★2．如图，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
★(第3题)
B
C
D
E
F
A
A
D
C
B
(第2题)
3．在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F是AB边上的一点，过点F作FE∥BC交CA于点E，过点E作ED∥AB交于BC于点D（如图），则四边形BDEF的周长是 ．
(第1题)
A
B
C
D
E
O
(第4题)

★4．（如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
★5、在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
★6．如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，
求DE的长.

★7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，
分别与AB、CD的延长线交于点E、F
.求证：四边形AECF是平行四边形.

★8、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．
⑴试说明AC＝EF；
⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．

考点2.中心对称图形
1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形
2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分.
★在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形。 （写出所有正确结论的序号）：
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件:
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：
★请举出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的例子

考点3.三角形与梯形的中位线以及中位线定理
关注：三角形中位线定理的证明方法以及中位线定理的应用，这是重点.
三角形中位线:过三角形两边中点的线段.性质: 三角形的中位线平行且等于底边的一半.
梯形的中位线: 过对边中点的线段: 性质:梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半.
★…
（第2题）
1、如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD．BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 ．
(第1题)

★2、 如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个.
★3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是BD、AC的中点，BD平分∠ABC。
A
B
C
D
F
E
求证：（1）AE⊥BD；（2）EF＝

4、求证：任意四边形中点顺次连接而成的四边形是平行四边形

考点4.矩形的性质以及判定
性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角.
3）矩形的对角线相等.
判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形.
3）对角线相等的平行四边形是矩形.
注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
第2题
1、矩形不一定具有的特征是（ ）
A、对角线相等 B、四个角是直角　C、对角线互相垂直　D、对边分别相等
2、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠，
点D落在E处，且CE与AB交于F，那么AF的长是_____
3、矩形的对角线相交所成的钝角为120°，短边为3．6 cm，则对角线长为_____．
4.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是
5、如图，直线MN经过线段AC的端点A，点B、Ｄ分别在和的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点，试找出当点O在AC的什么位置时，四边形ABCD是矩形，并说明理由．

考点5.菱形的性质以及判定
性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）菱形的四条边都相等.
3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.
4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）
判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2）四条边都相等的四边形是菱形.
注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.
1、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．
2．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2那么AP的长为 ．
3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
4、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、
△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

5、如图， ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，
CE//AB交MN于E，连结AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，
说明理由．

考点6.正方形的性质以及判定
性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.
判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
2）矩形+有一组邻边相等
3）菱形+有一个角是直角
注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2、E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE的度数是（ ）
A．70° B．72．5° C．75° D．77．5°
3、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是( )
(第3题)
A． B． C． D．
（第4题）

4、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是＿＿＿．
5、如图，正方形ABCD的面积为25，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______
6、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 ．
（第6题）

7、如图4，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
A
B
D
C
E
P
F
（7题）
求证：EF＝AP

8、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)

考点7.中点四边形及重心问题
顺次连接任意一个四边形的四边中点得到的四边形的判定:(看原四边形的对角线)
任意四边形ABCD中E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的形状为:
A
E
B
F
C
G
D
H
O
1. 若原四边形的对角线任意,则得到的四边形(EFGH)为平行四边形.
2. 若原四边形的对角线相等, ,则得到的四边形(EFGH)为菱形.
3. 若原四边形的对角线垂直, 则得到的四边形(EFGH)为矩形.
4. 若原四边形的对角线相等且垂直, 则得到的四边形(EFGH)为正方形.
★下列各图中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA中点，
（1）如图1，求证：四边形EFGH是平行四边形
（2）如图2，当AC和BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形（不必证明）
如图3，当AC和BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形（不必证明）
（3）如图4，当AC和BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形， （不必证明）

线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。 三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。 宽和长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
典型例题：
A
B
C
D
E
F
1、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD点E、F为垂足，∠EAF=30°，AE=3cm，AF=2cm，求平行四边形ABCD的周长.

C
D
A
B

2、如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形.

3、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC=，E、F分别是对角线AC、BD的中点。求证：EF⊥BD

30°
30°
30°
30°
A
B
C
D
E
F
4、某地有四个村庄A、B、C、D，它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形边长为a米。计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如图中实线部分，求出所需电线长？

5、如图，已知四边形ACBD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．

6、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。
求证：MN和PQ互相平分。

7、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为DA的中点，且BC=DC+AB.
求证：BE⊥EC。

8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD（对角线），再折叠使AD边落在对角线BD上，得折痕DG。若DC＝2，BC＝1，求AG的长。

9、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，求GH的长。