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§2.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A. B．64
C．2 D.
3．下列是y＝的图象的是( )
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A．0 B．2
C．3 D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1. 、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.3 幂函数
知识梳理
1．函数y＝xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]
4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
7．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析 y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解 考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．
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