高中数学-不等式选讲各年高考题.doc

五年高考真题分类汇编：不等式选讲
一.选择题
1.（2014·安徽高考文科·Ｔ9）与（2014·安徽高考理科·Ｔ9）相同
若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【解题提示】 以a为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。
【解析】选D.（1）当a<2时， ；
（2）当a>2时，，
由（1）（2）可得，解得a=-4或8。
2．（2012•湖北高考理）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝ (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
3．（2011•山东高考理）不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是 (　　)
A．[－5,7] B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
【解析】选D |x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
二.填空题
4. （2014· 湖南高考理科·Ｔ13）若关于的不等式的解集为，则
【解题提示】求解绝对值不等式。
【解析】由得到，，又知道解集为
所以。
答案：
5.(2014·广东高考理科)不等式+≥5的解集为　　　　　　.
【解析】方法一:由得x≤-3;
由无解;
由得x≥2.
即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,
所以往左右边界各找距离为1的两个点,
即点-3到点-2与点1的距离之和为5,
点2到点-2与点1的距离之和也为5,
原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
答案:{x|x≤-3或x≥2}.
【误区警示】易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.
6.(2014·陕西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为　　　　　　　.
【解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题.
【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,
即5(m2+n2)≥25,
(m2+n2)≥5,
所以的最小值为.
答案:
7.(2014·江西高考文科·T15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为　　　　.
【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.
【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,
故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,
所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.
答案:[0,2]
8．（2013•湖南高考理）已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
【解析】本小题主要考查应用柯西不等式求最小值．由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
【答案】12
9．（2013•陕西高考文）设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，该题实质是给定条件最值的题目的变形呈现．∵|x－a|＋|x－b|≥|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2恒成立，则解集为R.
【答案】(－∞，＋∞)
10．（2013•重庆高考理）若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．
【解析】本题主要考查绝对值不等式问题，意在考查考生转化与化归的能力．|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，故a≤8.
【答案】(－∞，8]
11．（2013•陕西高考理）已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
【解析】本题考查使用基本不等式求最值的技巧和方法，意在考查考生的转化化归能力和运算能力．(am＋bn)·(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋mn·(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(2ab＋a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时取等号)．
【答案】2
12．（2013•江西高考理）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
【解析】本题考查绝对值不等式的解法，意在考查考生的转化与化归能力．依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
【答案】[0,4]
13．（2012•江西高考理）在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为____________．
【解析】 原不等式可化为
或或
解得－≤x≤，即原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
【答案】{x|－≤x≤}
14．（2012•陕西高考理）若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
【答案】－2≤a≤4
15．（2011•江西高考理）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为____．
【解析】|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
【答案】5
16．（2011•湖南高考理）设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为
______.
【解析】(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
【答案】9
17．（2011•陕西高考）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
【解析】由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需|a|≥3即可，所以a≥3或a≤－3.
【答案】(－∞，－3]∪[3，＋∞)　
三.解答题
18. (2014·福建高考理科·Ｔ21)不等式选讲
已知定义在上的函数的最小值为．
(1)求的值；
(2)若是正实数，且满足，求证：．
【解析】(1)∵，
当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为；…………………………………………………3分
(2)由(1)知，又是正实数，
∴，
即.……………………………………………………………7分
19. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x) =+ (a>0)
(1)证明:f≥2.
(2)若f<5,求a的取值范围.
【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.
(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.
【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2.所以f(x)≥2.
（2）f(3)= +|3-a|.
当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
20.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x) =+ (a>0)
(1)证明:f≥2.
(2)若f<5,求a的取值范围.
【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.
(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.
【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2.
所以f(x)≥2.
（2）f(3)= +|3-a|.
当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
21．（2013•江苏高考）已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
22．（2013•新课标Ⅱ全国高考文）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
证明：本题主要考查不等式的证明与均值不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力与推理论证能力．
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
23．（2013•新课标Ⅰ全国高考文）已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

解：本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析问题、解决问题的能力．
(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
y＝
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
24．（2013•辽宁高考文）已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解：本题主要考查分段函数、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用．
(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，
解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
25．（2013•福建高考理）设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.
①求a的值；
②求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
解：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
①因为∈A，且∉A，所以<a，
且≥a，
解得<a≤.又因为a∈N*，所以a＝1.
②因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．
所以f(x)的最小值为3.
26．（2013•辽宁高考理）已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解：本题主要考查了绝对值不等式的解法以及逆向求参数问题，也考查了逆向思维能力的应用以及分类讨论思想．
(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，
解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
27．（2013•新课标Ⅰ全国高考理）
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：本题主要考查绝对值不等式的解法和含参数的不等式恒成立问题，意在考查考生运用分类讨论思想解决问题的能力．

(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
y＝
其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
28．（2013•新课标Ⅱ全国高考理）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1) ab＋bc＋ac≤；
(2) ＋＋≥1.
证明：本题考查不等式的基本知识以及运用基本不等式进行简单的不等式证明等知识，旨在考查考生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力以及转化与化归的能力．
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即
＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
29．（2012•辽宁高考文）已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若|f(x)－2f()|≤k恒成立，求k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)法一：记h(x)＝f(x)－2f()，则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k的取值范围是k≥1.
法二：|f(x)－2f()|＝
＝2≤1，
由|f(x)－2f()|≤k恒成立，
可知k≥1
所以k的取值范围是k≥1.
30．（2012•新课标高考文）已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2<x<3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|
⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
31．（2012•辽宁高考理）已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1|}．
(1)求a的值；
(2)若|f(x)－2f()|≤k恒成立，求k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f()，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
32．（2012•江苏高考）已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
解：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
33．（2012•福建高考理）已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.
34．（2012•新课标高考理）已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|
⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
35．（2012•新课标高考）设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为
|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得
|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．
由题设可得－＝－1，故a＝2.
36．（2011•福建高考理）设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(Ⅰ)求集合M；
(Ⅱ)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解：(Ⅰ)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，
所以M＝{x|0＜x＜1}．
(Ⅱ)由(Ⅰ)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，
故ab＋1＞a＋b.
37．（2011•江苏高考）解不等式x＋|2x－1|＜3.
解：原不等式可化为
或
解得≤x＜或－2＜x＜.
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜}．
38．（2011•辽宁高考）已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝
当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.
所以－3≤f(x)≤3.(5分)
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．(10分)