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直线和圆
◆ 本章知识结构
直线与圆
考试大纲要求】
1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.
【基础知识归纳】
1．直线方程
（1）直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为．可见，直线倾斜角的取值范围是：.
（2）直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即.
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.
(3)直线的方向向量
设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1) .
说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．
每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．
（4）直线方程的五种形式
2．两条直线的位置关系
（1）直线与直线的位置关系
存在斜率的两直线；.有：
一般式的直线,.
（2）点与直线的位置关系
若点在直线上，则有；
若点不在直上，则有，此时点到直线的距离为．平行直线与之间的距离为．
（3）两条直线的交点
直线,的公共点的坐标是方程 的解
相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.
3．曲线与方程
(1)“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：
曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
(2)求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
②写出适合条件P的点M的集合；③用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0；
④化方程为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
(3)求曲线方程常用方法:直接法, 定义法,参数法,相关点法,待定系数法.
(4)曲线交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
(5)由方程画曲线(图形)的步骤：①化简方程,讨论曲线性质(对称性,趋势等)；
②讨论曲线的范围；求截距,或用反解法求出x、y的取值范围;③列表; ④描点、连线．
(6)解析几何的本质 用代数的方法研究图形的几何性质,即: 根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质. 这也是解析几何中的两个基本问题．
4. 圆的方程
(1)圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.
在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.
(2)圆的方程 标准式： 一般式： 参数方程:
5. 点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系代入方程看符号.
6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：
（1）代数法：（判别式法）时分别相离、相交、相切.
（2）几何法：圆心到直线的距离 时相离、相交、相切.
（3）切线求法（判别式，公式）
7．弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则 ．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.
8．圆与圆的位置关系 看|O1O2|与和||的大小关系.
常见题型：
例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0答案D
例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：
y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴.
∴O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半径为,圆心为.
方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3=0，即m=3.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
∴圆心M，又圆在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为，半径为.
例3 （12分）已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±. 所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，
x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.
例4 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A.（x-3）2+(y-)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.+(y-1)2=1答案B
例5已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.
两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,
∴点（3，1）在圆内部，∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.
（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.
∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.
（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，
∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.
例6 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.答案：1
例7 已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意，过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××5＝.答案：
例8过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，
∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：4
例9 若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围____．
解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即d＝＝>1，∴m<0或m>10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
例10 已知直线x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有_个．
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m－1＝n，所以
2m－1－m<5，因为m，n∈N*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个
例11已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝，
∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
直线、圆的位置关系
例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
（1）证明 配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25，设圆心为（x，y），则消去m得
l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.
（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为
d=.∵圆的半径为r=5，
∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切；
当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.
（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，
弦长=2且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.
解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，
反射光线的斜率k反=.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),
即3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,
∴=1,解得b1=-,b2=1.∴kAB=-或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.
设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k2+25k+12=0.∴k1=-，k2=-.
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.
∴消去b得=1.即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
例3 已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)如果C1与C2外切，则有=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
（2）如果C1与C2内含，则有＜3-2.(m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0,得-2＜m＜-1,
∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.
例4已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.
（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解 （1）方法一 如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,
即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式： =2，得k=.
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0. 6分
则y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2,∴y2-y1=4,故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5,联立直线与圆的方程
消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0 ① 设方程①的两根为x1,x2,
由根与系数的关系得 ②
由弦长公式得|x1-x2|=将②式代入，解得k=，此时直线的方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即·=0， （x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
例5 m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.
（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.
解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=,圆心到直线2x-y+m=0的距离
d=∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即,
∴m＞5或m＜-5.故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点.
（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即5-=1.
得m=±2,∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2.
（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d=r，即=·，解得m=±.
故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.
例6.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.
求|PT|的最小值及此时P的坐标.
解 已知圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1，∴圆心C的坐标为（2，3），
半径r=1.如图所示，连结PC，CT，
由平面几何知，PT2=PC2-CT2=（a-2）2+（b-3）2-1.
由已知，PT=PO，∴PT2=PO2，即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2.化简得2a+3b-6=0.
得PT2=a2+b2=（13a2-24a+36）.当a=时，PTmin=
|PT|的最小值为，此时点P的坐标是.
例7 .求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.
解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，
因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），则,
解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
方法二 因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,所以设所求圆A的方程为
x2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，解得=-4,
所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.
例8 .圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.
（1）当=时,求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.
解 （1）当=时，kAB=-1，直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圆心（0，0）到AB的距离
d=,从而弦长|AB|=2.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.由
两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，
∴kAB=.∴直线l的方程为y-2=（x+1），即x-2y+5=0.
例9 设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切
[解析]圆心到直线的距离为d=，圆半径为.
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C
例10 设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
[解析]圆心到直线的距离为d=，圆半径为.
∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C
【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便
求解圆的切线、弦长问题
例1已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点
(1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程
(2)求四边形的面积的最小值(3)若，求直线的方程
(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件
解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，
或0，切线、的方程分别为和
（2），
（3）设与交于点，则
，在中，，即
设，则直线的方程为或
【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化
例2 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
[解析]（1）解法1：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
∵m∈R，∴
得
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
解法2：圆心到直线的距离，
，所以直线l恒与圆C相交于两点
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.
【名师指引】明确几点：
（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线
（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦
例3 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点
(1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程(2)求四边形的面积的最小值
(3)若，求直线的方程
【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件
解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，
或0，切线、的方程分别为和
（2），
（3）设与交于点，则
，在中，，
即
设，则
直线的方程为或
【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化
例4 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
[解析]（1）解法1：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
∵m∈R，∴
得
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
解法2：圆心到直线的距离，
，所以直线l恒与圆C相交于两点
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.
【名师指引】明确几点：
（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线
（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦
圆上的点到直线的距离问题
例1 已知圆和直线，
（1）若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；
（2）若圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；
（3）若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；
【解题思路】解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手
解法1：与直线平行且距离为1的直线为和
，圆心到直线的的距离为,圆心到直线的的距离为,
（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1
（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1
（3）圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1
解法2：设圆心到直线l的距离为，则
（1）圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，
（2）圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，
（3）圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1
【名师指引】将圆上到直线l的距离等于1的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效
圆与圆的位置关系
题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程
例1 求与圆外切于点，且半径为的圆的方程
解析：设所求圆的圆心为，则解得：，所求圆的方程为
解法2：设所求圆的圆心为，由条件知
，所求圆的方程为
【名师指引】（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。
题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程
轨迹方程：
例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标为（x,y）,
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.
∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.
由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，
即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
例2（5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 （ ）
A.=1 (y≠0) B.=1 (x≠0)C.=1（y≠0）的左支D.=1（y≠0)的右支
答案D
例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），
则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有
Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，
所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.
因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得
·-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.
例4.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||+ ·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.
解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,
∵||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.
例5.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，
到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).
例6 设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.
解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），
∴即
∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.
∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
例7 已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）.
（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.
[解析]（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x－4，2y），代入圆的方程得（x－2）2+y2=1.
（2）设R（x，y），由==，设P（m，n），则有
m=，
n=，
代入x2+y2=4中，得（x－）2+y2=（y≠0）.
【名师指引】
（1）本题用了相关点转移法求轨迹，该法的核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系
（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等
与圆有关的轨迹问题
【新题导练】
例1 由动点向圆引两条切线,切点分别为,,则动点的轨迹方程为
[解析] 在中, ,,动点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,方程为
例2. 过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,则点的轨迹方程为
A． B． C． D．[解析]B
设,过点的切线方程为,过点的切线方程为,而两切线都过点,,直线的方程为,
直线经过点,,换为得
章末检测七
一、选择题
1. “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C
2.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 （ ）
A.x-2y+7=0 B.2x+y-1=0C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0答案 A
3.若过点A（4，0）的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ( )
A. B.C. D.答案 C
4.过点M（2，1）的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则l的方程是 ( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y-3=0C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0答案 D
5.直线x-2y-3=0与圆C：(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为 ( )
A. B. C. D.答案 C
6.若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+c=0的
置关系是 ( )A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直答案 C
7.已知直线l1:bx-2y+2=0和l2:2x+6y+c=0相交于点（1，m），且l1到l2的角为，则b、c、m的值分别
为（ ）A.1,,-11 B.,1,-11C.1,-11, D.-11,,1答案 C
8.已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ ）A.(-1,0) B.(1,0) C. D.
答案B
9.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值是 （ ）
A.0 B.1 C. D.9答案A
10.不等式组所表示的平面区域的面积是 （ ）
A.30 B.15 C.12 D.8答案B
11.如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最小值为（ ）
A.-1 B.-1 C.2-1 D.-1答案A
12.过点C（6，-8）作圆x2+y2=25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为（ ）
A.15 B.1 C. D.5答案C
二、填空题
13.设直线2x+3y+1=0和x2+y2-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是 . 答案 3x-2y-3=0
14.在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M=，区域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f（t）表示，则f（t）的表达式为 .答案 f(t)=-t2+t+
15.已知点P（m,n）位于第一象限，且在直线x+y-1=0上，则使不等式≥a恒成立的实数a的取值范围是 .答案 （-∞，9］
16.（2008·上海扬浦测试）若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的取值范围是 .
答案
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17.过点M（0，1）作直线，使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.
解 方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M（0，1）的条件.
故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点，联立方程组
① ②
由①解得xA=,由②解得xB=. ∵点M平分线段AB，∴xA+xB=2xM，即+=0.
解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.
方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.
∵点B在直线l2:2x+y-8=0上，故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点.由中点坐标公式得A(-t,2t-6).
∵A点在直线l1:x-3y+10=0上，∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.
18.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
解 （1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m＜5.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4-2y1，x2=4-2y2，则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2
∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0
∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0 ①
由得5y2
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