质点沿对数螺线运动的速度和加速度.pdf

收稿日期:作者简介:陈 彦()男扬州职业大学土木工程学院讲师硕士王 威()男扬州职业大学土木工程学院讲师博士基金项目:国家自然科学基金()质点沿对数螺线运动的速度和加速度陈 彦 王 威(扬州职业大学 江苏 扬州)摘 要:根据以时间为参数的平面曲线弧微分公式和曲率计算公式导出了质点在任意时刻围绕极点等角速度转动并沿着对数螺线运动的线速度、切向加速度、法向加速度以及全加速度计算公式通过加速度在极坐标系中的投影式判断出质点在任意时刻运动的全加速度方向始终与径矢方向关于内法线轴对称且指向曲线内凹一侧 以匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动为例通过不同参考系将点的简单运动与合成运动充分地融合在一起验证了计算结果的正确性关键词:对数螺线全加速度极坐标系等角性变速曲线运动中图分类号:.文献标识码:文章编号:()():.:理论力学中运动学部分关于点的变速曲线运动给出了点的速度、切向加速度、法向加速度和全加速度的一般计算公式但经典的例子不是很多只有一道摆线(或旋轮线)和一道阿基米德螺线的例题 由于变速曲线运动本身的复杂性所以必须和一般曲线的几何性质结合起来加以研究 对数螺线是质点切向、法向加速度均为常数的平面运动轨迹 质点能不能以等角速度绕固定点转动的同时又沿着对数螺线运动?邵云以匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动第 卷 第 期 年 月扬 州 职 业 大 学 学 报 .为例给出了肯定的答案但是并没有给出质点速度和加速度的一般计算公式也没有清楚地阐明质点分别在自然轴系、极坐标系和动参考系中速度矢量和加速度矢量的内在统一性以及和对数螺线的几何性质有何关联笔者针对这些问题进行分析讨论 质点沿对数螺线运动的速度与加速度公式对数螺线在极坐标系()下的一般方程为:()()它的图形如图 所示从起点()出发逆时针转向随着极角的增大当 时越绕越远离极点当 时越绕越靠近极点而永远达不到极点 对数螺线最重要的几何性质就是等角性即曲线上任意一点的切矢与径矢成固定角度 ()()()()()()()已知参数方程形式的弧微分公式如下:()()()将方程()代入式()并化简得 ()()这样质点在任意时刻的线速度为:()为切向单位矢量指向与质点的运动方向一致根据教材公式有 ()()()()()()()将方程()代入式()并化简得:()()()()()根据理论力学中速度在极坐标系中的投影式将方程()与 代入计算结果如下:().质点沿对数螺线运动的加速度通过公式()求得质点在任意时刻沿对数螺线运动的切向加速度为:.()从速度()和切向加速度()的表达式可以看出当 时二者符号相同质点作变加速曲线运动(图()当 )()变减速曲线运动()()()()()所以全加速度大小 ()()如图 所示它与切向加速度之间的夹角的余切为 ()所以 ()不管作变加速运动()还是作变减速运动()全加速度的方向一定是沿着与径矢关于内法线轴对称的方向且指向曲线内凹一侧如图 所示而顺时针转动(时小球的运动轨迹近似为对数螺线此时小球的运动轨迹方程为:()()()对比方程()显然 /所以此对数螺线的倾斜度 /.小球的速度在定参考系中分析小球在 时刻的速度将 和 代入式()得小球的线速度即绝对速度:()()其中 (/)(/)从图()中可以看出小球的速度方向与直管径向的夹角即为此对数螺线的倾斜度在转动参考系中分析小球的速度将 和 代入式()并且小球的相对速度 和牵连速度的大小与速度在极坐标系中的投影满足 ()()()所以小球的相对速度 刚好等于速度在极坐标系中的径向分量 而牵连速度 刚好等于速度在极坐标系中的环向分量 方向如图()所示结论和文献一致如果从不同参考系的角度理解速度矢量的合成即 ().小球的加速度在定参考系中用自然轴系分析小球在 时刻的加速度将 和 分别代入式()、式()和式()得小球切向加速度 和法向加速度 的大小:()()方向如图()所示得小球全加速度 的大小即绝对加速度 的大小:()()根据上面的结论得知全加速度方向与速度方向夹角也等于/由于小球作变加速运动如图()所示全加速度方向必然与直管垂直指向极角增大的地方在转动参考系中分析小球的加速度将 和 代入式()得 从式()中可以看出加速度的径向分量 中的第一项即相对加速度 第二项即牵连加速度 二者大小相等方向相反如图()所示即 ()()而式()中的环向分量 即为小球的科氏加速度 所以 ()()方向如图()所示结论和文献一致如果从不同参考系的角度理解加速度矢量的合成即 ()结语对数螺线最重要的几何性质就是等角性结论刚好验证了这一性质 可见在一般曲线运动中质点的切向和法向加速度均为常数这个条件只是运动轨迹为对数螺线的充分但非必要条件以匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动为例运用本文的计算公式验证了文献结论的正确性并且清楚地阐明了质点分别在自然轴系、极坐标系和动参考系中速度矢量和加速度矢量的内在统一性参考文献:哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学:.版.北京:高等教育出版社.李力.简证对数螺线的数理性质.大学物理():.严导淦.对数螺线及其物理意义.物理与工程():.邵云.匀速转动的水平光滑直管内小球的离心运动研究.安庆师范大学学报(自然科学版)():.同济大学应用数学系.高等数学:上.版.北京:高等教育出版社.同济大学应用数学系.高等数学:下.版.北京:高等教育出版社.(责任编辑:疆 涌)第 期陈 彦等:质点沿对数螺线运动的速度和加速度