第十二章-全等三角形-备课.doc

12．1全等三角形
教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念；
2 理解全等三角形的性质
3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，
重点：探究全等三角形的性质
难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角
教学过程：
一、全等三角形
观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形

问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？
这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
思考：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用表示，读作“全等于”
两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角
二、全等三角形的性质
思考：如上图，13.1-1，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等。
三、练习：
（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

（2）将沿直线BC平移，得到，说出你得到的结论，说明理由？

（3）如图，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：，求的大小。

四、小结：
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．
五、布置作业：
教科书第33页习题 第1、2、3题

12．2 三角形全等的判定(1)
教学目标
1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．
3.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
教学难点
三角形全等条件的探索过程．
教学过程
一、复习过程，引入新知
多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．
二、创设情境，提出问题
根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．
三、建立模型，探索发现
探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
让学生按照下面给出的条件作出三角形．
(1)三角形的两个角分别是30°、50°．
(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．
(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．
再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．
探究2，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．
四、应用新知，体验成功
例l 如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．
例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，
作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；
③画射线AD．
AD就是∠BAC的平分线．
五、巩固练习
教科书第37页 练习．
六、反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．
七、布置作业
教科书第43页习题 第1、2题．

11.2 三角形全等的判定(2)
教学目标
1．经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．
2．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
3．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
教学难点
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
教学重点
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．
教学过程
一、创设情境，引入课题
探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．
教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．
二、交流对话，探求新知
根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)
补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．
三、应用新知，体验成功
例2 如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．
(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：
要想证AB＝DE，
只需证△ABC≌△DEC
△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……)
强调 证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．
四、再次探究，释解疑惑
出示探究3，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
教师演示：方法(一)教科书39页图12.2-7．
方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．
五、巩固练习
教科书第39页，练习(1)(2)．
六、小结提高
1．判定三角形全等的方法；
2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，
七、布置作业
教科书第44页习题 第3、4题．

12.2 三角形全等的判定(3)
教学目标
1.探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
教学重点
理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．
教学难点
探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．
教学过程
一、创设情境
复习：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?
答：“SSS”“SAS”
二、探究新知：
1．探究4
先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。
在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”．

练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C
求证：△ABE≌ △A’CD

例3 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD
相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BD=CE

2．探究（例4）
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，
△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?

看已知条什，能否用“角边角”条件证明．
独立思考，探究，再小组合作完成．
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．
强调 “AAS”中的边是“其中一个角的对边”．
三、小结提高
判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?
SSS SAS ASA AAS
四、巩固练习
教科书第41页，练习1、2题
五、布置作业
教科书第44页 习题 第6、11题

12.2 三角形全等的判定(4)
教学目标
1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
教学重点
理解，掌握三角形全等的条件：HL．
教学过程:
一、提问：
判定两个三角形全等方法有： ， ， ， 。
二、新课：
探究5 已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般
三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，
还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

三、练一练：
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，
另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗
杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾
斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：
在Rt△ABC和Rt△DEF中,则
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
又 ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
四、小结：
这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
五、作业：
教科书第44页 7、8题

12．3 角的平分线的性质（1）
教学目标
1．会用尺规作一个已知角的平分线．
2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．．
教学过程
一、提出问题，创设情境
三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗？
三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二、导入新课
1、下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

（ 1） 要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
（2 ）∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
（ 3）我们看看条件够不够．

所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
用三角形全等，就可以解决角相等、线段相等的一些问题．
2、 作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．

议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
三、随堂练习
课本50页练习 1题
四、课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，归纳出角的平分线的尺规画法，
五、课后作业
课本51页 习题 1、2题

12．3 角的平分线的性质（2）
教学目标
1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
一、创设情境，引入新课
角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天就来研究这个问题．
二、导入新课
1、 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2、 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．点P在∠AOB的平分线上．
我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
下面请同学们思考一个问题．
思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
三、随堂练习
课本50页 练习．
四、课时小结
像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
五、课后作业：
课本51页 习题 3、4、5题．

小结与复习
教学目标
1、总结出三角形全等的条件及性质；
2、能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；
3、会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。
教学重点和难点
重点①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。
难点 能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。
教学过程
一、知识结构

二、回顾与思考
1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？
2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？
3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。
4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？
5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？
三、例题
1.如图13—1，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，E、F在AC上。
求证：∠DCF=∠BAE。

解析 因为∠BAE和∠DCF分别在△BAE和△DCF中，所以只需证明△DCF≌△BAE。
答案 因为DF∥BE，所以∠DFA=∠BEC。所以∠DFC=∠BEA（等角的补角相等）。
因为CE=AF，所以CE－FE=AF－FE，即CF=AE。
在△DCF和△BAE中，

所以△DCF≌△BAE（SAS）。
所以∠DCF=∠BAE（全等三角形的对应角相等）。
方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。
2.如图13—3，RtABC中AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD，且交BD的延长线于E，则BD与2CE有何关系？说明理由。

解析 解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到∠1=∠2，BE⊥CE。
若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。
答案
BD=2CE。理由如下：
延长CE交BA的延长线与F。在△BEF和△BEC中，

所以△BEC≌△BEF（ASA）。
所以CE=EF。所以CF=2CE。
因为∠BAC=90°，所以∠1+∠F=∠F+∠FCA。所以∠1=∠FCA。
在△BAD和△CAF中，

所以△BAD≌△CAF（ASA）。
所以BD=CF（全等三角形的对应边相等）。
因为CF=2CE，所以BD=2CE。
方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。
3．已知：如图13—6，AB∥CD，DE＝BF，AB＝CD．
求证：AE∥CF．
解析 要证AE∥CF，只需证出∠E＝∠F，因此只要证得△ABE≌△CFD即可．
答案 因为DE=BF，所以DE－BD=BF－BD，即BE＝DF．
因为AB∥DC，所以∠ABD=∠CDB．所以∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CFD中

所以△ABE≌△CFD（SAS）．
所以∠E=∠F，所以AE∥CF．
方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法．
4.如图13—7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF=FE，则AF与DE垂直吗?请说明理由．

解析 若AD＝AF，则可证△ADF≌△AEF，所以可得∠AFD＝∠AFE=90°．因此应设法证明AD＝AE。
答案 AF⊥DE成立，理由如下：因为AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACB=45°．因为EC⊥BC，
所以∠ECD=90°．所以∠ECA＝45°．所以∠ECA＝∠B。
在△ABD和△AEC中，

所以△ABD≌△AEC（SAS）．
所以AD=AE．在△ADF和△AEF中，

所以△ADF≌△AEF（SSS）．
所以∠AFD=∠AFE＝90°．
所以AF⊥DE．
方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法．
5.在一次战役中，如图13—8所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：
他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
（1）你能解释其中的道理吗?
（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证．

解析 这个战士其实是应用了全等三角形的条件——“ASA”，如图13—9，△ABC≌△A′B′C′，则BC＝B′C′．

答案 （1）根据题意画出示意图13—9．由题意知，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′=90°，AB＝A′B′．
所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）
所以BC＝B′C′．因此测出B′C′的长即为BC的长．
（2）在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性．
经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。
四、小结
引导学生总结出本节的主要知识点。