第十二章-全等三角形-备课.doc

121全等三角形教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角教学过程：一、全等三角形观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形思考：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角二、全等三角形的性质思考：如上图，13.1-1，对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。三、练习：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角（2）将沿直线BC平移，得到，说出你得到的结论，说明理由？（3）如图，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：，求的大小。四、小结：通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素五、布置作业：教科书第33页习题 第1、2、3题122 三角形全等的判定(1)教学目标1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程2.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性3.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点三角形全等条件的探索过程教学过程一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳三、建立模型，探索发现探究1，先任意画一个ABC，再画一个ABC，使ABC与ABC，满足上述条件中的一个或两个你画出的ABC与ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形 (1)三角形的两个角分别是30、50 (2)三角形的两条边分别是4cm，6cm (3)三角形的一个角为30，条边为3cm 再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等 探究2，先任意画一个ABC，再画一个ABC，使ABAB，BCBC，CACA，把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出ABC，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等四、应用新知，体验成功例l 如下图ABC是一个钢架，ABAC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证ABDACD让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；画射线ADAD就是BAC的平分线五、巩固练习教科书第37页 练习六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律七、布置作业教科书第43页习题 第1、2题11.2 三角形全等的判定(2)教学目标1经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力2在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理3通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件教学重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等教学过程 一、创设情境，引入课题 探究3：已知任意ABC，画ABC，使ABAB，ACAC，AA教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的ABC，剪下放在ABC上，观察这两个三角形是否全等二、交流对话，探求新知根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边三、应用新知，体验成功例2 如图，有池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CDCA，连接BC并延长到E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据 (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证ABDE， 只需证ABCDEC ABC与DEC全等的条件现有还需要)强调 证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决四、再次探究，释解疑惑出示探究3，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 教师演示：方法(一)教科书39页图12.2-7 方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论五、巩固练习教科书第39页，练习(1)(2)六、小结提高1判定三角形全等的方法；2证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，七、布置作业教科书第44页习题 第3、4题12.2 三角形全等的判定(3)教学目标1.探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用教学过程一、创设情境复习：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?答：“SSS”“SAS”二、探究新知：1探究4 先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使ABAB，AA，BB(即使两角和它们的夹边对应相等)把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗? 怎样画出ABC?先自己独立思考，动手画一画。在画的过程中若遇到不能解决的问题可小组合作交流解决两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等这条件可以简写成“角边角”或“ASA”至此，我们又增加了种判别三角形全等的方法特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”练习：已知：如图，AB=AC，A=A，B=C 求证：ABE ACD 例3 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C。 求证：BD=CE 2探究（例4）在ABC和DEF中，AD，BE，BCEF，ABC与DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?看已知条什，能否用“角边角”条件证明独立思考，探究，再小组合作完成 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件强调 “AAS”中的边是“其中一个角的对边”三、小结提高判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?SSS SAS ASA AAS四、巩固练习教科书第41页，练习1、2题五、布置作业教科书第44页 习题 第6、11题12.2 三角形全等的判定(4)教学目标1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维教学重点理解，掌握三角形全等的条件：HL教学过程:一、提问：判定两个三角形全等方法有： ， ， ， 。二、新课：探究5 已知线段a、c(ac)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C= ，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做： 作MCN=90; 在射线CM上截取线段CB=a 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A; 连接AB.直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法“HL”.三、练一练：1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？解：ABC+DFE=90.理由如下：在RtABC和RtDEF中,则BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等).又 DEF+DFE=90,ABC+DFE=90.四、小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流五、作业：教科书第44页 7、8题123 角的平分线的性质（1）教学目标 1会用尺规作一个已知角的平分线 2应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理 3在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神教学重点 利用尺规作已知角的平分线教学难点 角的平分线的作图方法的提炼教学过程 一、提出问题，创设情境 三角形中有哪些重要线段你能作出这些线段吗？ 三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线 三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？二、导入新课 1、下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？ （ 1） 要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB （2 ）CAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了 （ 3）我们看看条件够不够 所以ABCADC（SSS） 所以CAD=CAB 即射线AC就是DAB的平分线 用三角形全等，就可以解决角相等、线段相等的一些问题 2、 作已知角的平分线的方法： 已知：AOB 求作：AOB的平分线 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧两弧在AOB内部交于点C（3）作射线OC，射线OC即为所求 议一议： 1在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？ 2第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？ 练一练： 任意画一角AOB，作它的平分线三、随堂练习 课本50页练习 1题四、课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，归纳出角的平分线的尺规画法，五、课后作业 课本51页 习题 1、2题 123 角的平分线的性质（2）教学目标 1会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” 2能应用这两个性质解决一些简单的实际问题教学重点 角平分线的性质及其应用教学难点 灵活应用两个性质解决问题教学过程一、创设情境，引入新课 角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天就来研究这个问题二、导入新课 1、 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论 画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 符合直角三角形全等的条件，所以RtPEOPDO（HL）于是可得PDE=POD点P在AOB的平分线上 我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上 下面请同学们思考一个问题 思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思作图如下： 第一步：尺规作图法作出AOB的平分线OP 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化 例 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF而BM、CN分别是B、C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题 证明：过点P作PDAB，PEBC，PFAC，垂足为D、E、F 因为BM是ABC的角平分线，点P在BM上 所以PD=PE 同理PE=PF 所以PD=PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等三、随堂练习 课本50页 练习四、课时小结 像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等五、课后作业： 课本51页 习题 3、4、5题小结与复习 教学目标1、总结出三角形全等的条件及性质；2、能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；3、会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。教学重点和难点重点三角形全等的条件、角的平分线的性质；能利用中的知识点解题。难点 能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。教学过程一、知识结构二、回顾与思考1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？三、例题1.如图131，AF=CE，DF=BE，DFBE，E、F在AC上。求证：DCF=BAE。解析 因为BAE和DCF分别在BAE和DCF中，所以只需证明DCFBAE。答案 因为DFBE，所以DFA=BEC。所以DFC=BEA（等角的补角相等）。因为CE=AF，所以CEFE=AFFE，即CF=AE。在DCF和BAE中，所以DCFBAE（SAS）。所以DCF=BAE（全等三角形的对应角相等）。方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。2.如图133，RtABC中AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD，且交BD的延长线于E，则BD与2CE有何关系？说明理由。解析 解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到1=2，BECE。若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。答案BD=2CE。理由如下：延长CE交BA的延长线与F。在BEF和BEC中，所以BECBEF（ASA）。所以CE=EF。所以CF=2CE。因为BAC=90，所以1+F=F+FCA。所以1=FCA。在BAD和CAF中，所以BADCAF（ASA）。所以BD=CF（全等三角形的对应边相等）。因为CF=2CE，所以BD=2CE。方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。3已知：如图136，ABCD，DEBF，ABCD求证：AECF解析 要证AECF，只需证出EF，因此只要证得ABECFD即可答案 因为DE=BF，所以DEBD=BFBD，即BEDF因为ABDC，所以ABD=CDB所以ABECDF在ABE和CFD中所以ABECFD（SAS）所以E=F，所以AECF方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法4.如图137，在ABC中，AB=AC，BAC90，D是BC上一点，ECBC，ECBD，DF=FE，则AF与DE垂直吗?请说明理由解析 若ADAF，则可证ADFAEF，所以可得AFDAFE=90因此应设法证明ADAE。答案 AFDE成立，理由如下：因为ABAC，BAC90，所以BACB=45因为ECBC，所以ECD=90所以ECA45所以ECAB。在ABD和AEC中，所以ABDAEC（SAS）所以AD=AE在ADF和AEF中，所以ADFAEF（SSS）所以AFD=AFE90所以AFDE方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法5.在一次战役中，如图138所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离（1）你能解释其中的道理吗?（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证解析 这个战士其实是应用了全等三角形的条件“ASA”，如图139，ABCABC，则BCBC答案 （1）根据题意画出示意图139由题意知，AA，BB=90，ABAB所以ABCABC（ASA）所以BCBC因此测出BC的长即为BC的长（2）在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。四、小结引导学生总结出本节的主要知识点。