高三理科数学052.doc

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期数 0512 SXG3 052
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇三十九 高三理科数学总复习十六
——二次函数

【考试大纲的要求】
掌握二次函数的图像和性质，二次函数、二次不等式和二次方程之间的关系.会求二次函数在区间上的最值,会利用二次函数的图像讨论二次方程根的分布.
【基础知识概要】
1． 二次函数的解析式：
（１） 一般式：；
（２） 顶点式：，其中顶点是；
（３） 两点式：，其中是函数的图象与轴交点横坐标．
2．二次函数的性质：
　二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是．　
（１） 当时，抛物线的开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，．
（２） 当时，抛物线的开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．
（３） 二次函数，当时，图像与轴有两个交点．
3．三个“二次”间的关系：

O

函数

图像

O

O

方程的解

无解
的解集

的解集

空集
空集
【典型例题解析】
例1 设.
（1）当R时，恒成立，求a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
解：（1）由得,0对R恒成立，
因此，，解得
（2）.
讨论：当，即a4时，f(x)的最小值为，
∴7－2aa， ∴a, 无解.
当，即，f(x)有最小值为，
由，解得, ∴此时,
当，即时，f(x)的最小值为，
解得，此时，
综上所述，a的取值范围是.
例2 已知，若在区间[1, 3]上的最大值为，最小值为，令.
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.
解：（1），对称轴为，
∵，∴.
讨论：当时，即时，
，，
∴，
当时，即时，
，
∴.
综上所述，
（2）由（1）知，g(a)在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，g(a)有最小值.
例3 已知f(x)是周期为2的函数，且在[－4,－2]上，.
（1）求f(x)在[0,2]上的表达式；
（2）若矩形ABCD的顶点A、B分别为、（其中，又点C、D在函数()的图象上，求矩形ABCD面积S的最大值.
解：（1）当时，，则
，
∴当时，.
（2）∵ABCD为矩形，，
∴，
∴，
∴（其中），
令，得，
当时，；当时，，
∴当时，S有最大值.
例4．已知二次函数，设方程有两个的实根为．
（１） 若，设函数的对称轴为，求证：；
（２） 若，求的取值范围．
解：（１）由方程得．
设，，所以函数的图象是开口向上的抛物线．若方程的二根满足，
则有，∴．
即．
（２）对于方程，由韦达定理得．
∵，∴，故．
∵，∴，即，∴
∴．
∴．由此解得或．
解法二：由，可得．
当时，∵，∴同号，由，得．
∴．
设，方程的二个根满足，
只须．
同理，当时，可得．
综上所述，的取值范围为或．
评析：一元二次方程的根的分布问题既是高考的重点又是难点，解决根的分布问题的一般方法是，根据题意作出符合根的分布的图象，由图象的形象直观得出所必须满足的充要条件，从而确定相关参数的取值范围，本例（2）解法一运用韦达定理；解法二中充分运用已知条件，将所求问题转化成根的分布情况进行讨论。借助函数的图象特点，充分运用根的分布的充要条件逐一分析求解，是解决此类问题的关键。

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．二次函数的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．已知函数在区间上是增函数，则f(1)的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若为偶函数，则f(x)在区间[－3,1]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
4．在区间上，函数与在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是（ ）
A． B．4
C．8 D．
二、填空题
5．如果函数在区间[0,3]上有最小值－2，那么实数a的值为_______.
6．已知g(x)是一次函数，且在R上是增函数，若，则=__________.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．若方程在(0,1)内恰有一个解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜－1 B．a＞1
C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1
2．函数，满足对任何R都有，且f(0)=3，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果的值域为，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4 B．0≤m≤4
C．m＜－1或m＞4 D．0＜m＜4
4．若方程的两根都大于2，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．若函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_____.
6．若方程的一个根大于1，一个根小于1，则m的取值范围是_________.
三、解答题
7．已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，对任意实数x恒有，解不等式.
8．已知，且，求实数a的取值范围.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．A 3．C 4．B
二、5．－2 6．2x－5
同步检测[※※级]
一、1．B 2．A 3．B 4．A
二、5．1≤m≤2 6．－2＜m＜4
三、7．解：设
∵，
∴抛物线的对称轴为x=2，
又a＜0，∴f(x)在上是增函数，
∵，，
且，∴，
∴，∴原不等式的解集为.
8．解：，
设，
（1）当时，即0＜a＜1时，，则；
（2）当时，a=0或a=1，
若a=0，则，B={0}，不合题意；
若a=1，则，B={1}，满足.
（3）当时，a＞1或a＜0，，
由，得此不等式组无实数解，
综上所述，0＜a≤1.