高三理科数学025.doc

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期数 0510 SXG3 025
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇十七 函数的单调性
【教材阅读提示】
通过本节学习，要求了解可导函数的单调性与其导数的关系，会利用导数划分函数的单调区间、判断函数的单调性.
在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
1．利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数y=f(x)在区间(a, b)内可导.
（1）如果恒有，则函数f(x)在(a, b)内为增函数；
（2）如果恒有，则函数f(x)在(a, b)内为减函数；
（3）如果恒有，则函数f(x)在(a, b)内为常函数；
注意：若函数f(x)在(a, b)内满足（或）（其中有限个点满足），则函数f(x)在(a, b)内仍是增函数（或减函数）.
2．利用导数判断函数单调性的基本步骤
（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数f(x)的定义域内解不等式和；
（4）确定f(x)的单调区间.

【典型例题解析】
例1 求函数的单调区间．
分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过解不等式（或）得函数的增区间（减区间）．
解：函数的定义域为
．
　　当时，，∵，，∴
∴函数在为增函数．
当时，∵，，∴
∴函数在为减函数．
说明：此题可利用复合函数的单调性来进行判断．
例2 求函数的单调区间.
解：∵，
令，则－1＜x＜0或x＞1，
∴函数的单调增区间为(－1,0)和，
令，则x＜－1或0＜x＜1，
∴函数的单调减区间为和(0，1).
评析：在这里要注意以下几点：
①使的x的取值区间如果为一个，则此区间为其单调区间；如果为两个或两个以上，在各自的区间上均为单调函数，在这里，不能将这两个区间并起来. 如写成：此函数的单调增区间为就错了，它是一个取值范围，而在其上不一定具有单调性.
②因为此函数在R上连续，所以单调区间可包括端点. 如：此函数的递增区间为[－1,0]和, 递减区间为和[0，1].
例3．设，求函数在的单调区间．
解：
（Ⅰ）当时，有，此时函数在内单调递增．
（Ⅱ）当时，对于，有，此时函数在内单调递增函数，在内单调递增．又知函数在处连续，因此函数在内单调递增．
（Ⅲ）当时，令，解得或．
因此函数在区间内单调递增，在区间也单调递增．令，解得．
因此函数在区间内为减函数．
例4．已知函数在上是减函数，求的取值范围．
解：函数f(x)的导数：
（Ⅰ）当（）时，是减函数.

所以，当是减函数；
（II）当时，=
由函数在R上的单调性，可知
当时，）是减函数；
（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当时，函数不是减函数.
综上，所求的取值范围是（

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若f(x)在(a,b)内是增函数，则对任何，都应有
B．若在(a,b)内对任何x都有，则f(x)在(a,b)内是增函数
C．若f(x)在(a,b)内是单调函数，则必存在
D．若在(a,b)内存在，则f(x)必为单调函数
2．设f(x)在(a,b)内可导，则是f(x)在(a,b)内单调减小的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列命题：（1）若可导函数在(a,b)内单调增加，则在(a,b)内有.（2）若可导函数在(a,b)内有，则在(a,b)内有.（3）可导的单调函数的导函数仍为单调函数.（4）导数等于0的点不在单调区间内. 正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．以下函数中，在区间(－1,1)内不是增函数的是（ ）
A． B．y=sinx
C． D．
二、填空题
5．当x＞0时，函数的单调递减区间是_________，递增区间是
____________.
6．函数的单调递减区间是___________.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数y = x－sinx在内是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．不能判定增减性
2．若为增函数，则（ ）
A． B．b＞0,c＞0
C．b=0, c＞0 D．
3．在(0,5)上是（ ）
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是单调减函数，在上是单调增函数
D．在上是单调增函数，在上是单调减函数
4．若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且时，，又f(a)＜0, 则（ ）
A．f(x)在[a,b]上单调递增，且f(b)＞0
B．f(x)在[a,b]上单调递增，且f(b)＜0
C．f(x)在[a,b]上单调递减，且f(b)＜0
D．f(x)在[a,b]上单调递增，且f(b)的符号无法确定
5．已知，则f[g(x)]（ ）
A．在(－2,0)上递增 B．在(0,2)上递增
C．在上递增 D．在上递增
二、填空题
6．函数的递减区间是____________.
7．的单调递增区间是__________.
三、解答题
8．设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
9．若函数在区间（１，４）内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．

参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．A 3．A 4．D
二、5． 6．
同步检测[※※级]
一、1．A 2．D 3．C 4．D 5．C
二、5． 6．
三、
8．解：，
若a＞0，对恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.
若a=0，，∴，f(x)也只有一个单调区间，矛盾.
若a＜0，∵，此时f(x)恰有三个单调区间，
∴a＜0,且单调减区间为和，单调增区间为.
9．解：函数的导数 令，解得 或．
当，即时，函数在上是增函数，不合题意．
当，即时，函数在为增函数．
依题意应有 当
所以 解得　　所求a的取值范围是[5，7].