高考第一轮复习数学：3.2等差数列.doc

3.2 等差数列知识梳理1.等差数列的概念若数列an从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列an叫等差数列.2.通项公式：an=a1+（n1）d，推广：an=am+（nm）d.变式：a1=an（n1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.4.前n项和：Sn=na1+d=nan（n1）nd.变式：=a1+（n1）=an+（n1）（）.点击双基1.（2003年全国，文5）等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是A.48 B.49 C.50 D.51解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n1）=33，解得n=50.答案：C2.（2003年全国，8）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于A.1B.C.D.解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，m=，n=.|mn|=.答案：C3.（2004年春季上海，7）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线xy=0上，则an=_.解析：将点代入直线方程得=，由定义知是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.答案：3n24.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1x）=，即f（5）+ f（6）=，f（4）+f（5）=，f（3）+f（4）=，f（2）+f（3）=，f（1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：3典例剖析【例1】 数列an的前n项和为Sn=npan（nN*）且a1a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列an是等差数列.剖析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an= 求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，（2p1）a2=0.a1a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n2时，an=SnSn1=nan（n1）an1.=.则=，=.=n1.an=（n1）a2，anan1=a2.故an是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.【例2】 已知an为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解：设an的首项为a1，公差为d，则解得S110=110a1+110109d=110.评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?【例3】 已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.剖析：由Sn=12nn2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（nN*），可知an为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解：当n=1时，a1=S1=1212=11；当n2时，an=SnSn1=12nn212（n1）（n1）2=132n.n=1时适合上式，an的通项公式为an=132n.由an=132n0，得n，即当 1n6（nN*）时，an0；当n7时，an0.（1）当 1n6（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=12nn2.（2）当n7（nN*）时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+a6）（a7+a8+an）=（a1+a2+an）+2（a1+a6）=Sn+2S6=n212n+72.Tn= 评述：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成an的求和问题.深化拓展若此题的Sn=n212n，那又该怎么求Tn呢？答案：Tn=闯关训练夯实基础1.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则A.S1，S2，S10都小于0，S11，S12，都大于0B.S1，S2，S19都小于0，S20，S21，都大于0C.S1，S2，S5都小于0，S6，S7，都大于0D.S1，S2，S20都小于0，S21，S22，都大于0解析：由题意知 可得d0，a10.又a11|a10|=a10，a10+a110.由等差数列的性质知a1+a20=a10+a110，S20=10（a1+a20）0.答案：B2.等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是A.S7 B.S8C.S13D.S15解析：设a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.答案：C3.在等差数列an中，公差为，且a1+a3+a5+a99=60，则a2+a4+a6+a100=_.解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.答案：854.将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行182022242826那么2004应该在第_行第_列.解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.答案：251 35.（2004年全国，文17）等差数列an的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.（1）求通项an；（2）若Sn=242，求n.解：（1）由an=a1+（n1）d，a10=30，a20=50，得方程组a1+9d=30， a1+19d=50. 由解得a1=12，d=2，故an=2n+10.（2）由Sn=na1+d及Sn=242，得方程12n+2=242，解得n=11或n=22（舍）.6.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S120，S130，即0，且0，解之得d3.（2）由an=12+（n3）d0，由d3，易知a70，a60，故S6最大.培养能力7.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2），a1=.（1）求证：是等差数列；（2）求an的表达式.（1）证明：an=2SnSn1，Sn+Sn1=2SnSn1（n2），Sn0（n=1，2，3）.=2.又=2，是以2为首项，2为公差的等差数列.（2）解：由（1），=2+（n1）2=2n，Sn=.当n2时，an=SnSn1=或n2时，an=2SnSn1=；当n=1时，S1=a1=.an= 8.有点难度哟！（理）设实数a0，函数f（x）=a（x2+1）（2x+）有最小值1.（1）求a的值；（2）设数列an的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:数列bn是等差数列.（1）解：f（x）=a（x）2+a，由已知知f（）=a=1，且a0，解得a=1，a=2（舍去）.（2）证明：由（1）得f（x）=x22x，Sn=n22n，a1=S1=1.当n2时，an=SnSn1=n22n（n1）2+2（n1）=2n3，a1满足上式即an=2n3.an+1an=2（n+1）32n+3=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n（2n1），即bn=2n1.bn+1bn=2（n+1）12n+1=2.又b2=1，bn是以1为首项，2为公差的等差数列.（文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为an，则an=780+（n1）（20）=80020n.由an440解不等式8002n440，得n18.当购买台数小于18时，每台售价为80020n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.到乙商场购买每台约售价为80075%=600元.价差（80020n）n600n=20n（10n）.当n10时，600n（80020n）n；当n=10时，600n=（80020n）n；当10n18时，（80020n）600n；当n18时，440n600n.答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.探究创新9.有点难度哟！已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（1）=n.试比较f（）与3的大小.解：f（1）=a1+a2+an=n2.依题设，有=n2，故a1+an=2n，即2a1+（n1）d=2n.又f（1）=a1+a2a3+a4a5+an1+an=n，d=n，有d=2.进而有2a1+（n1）2=2n，解出a1=1.于是f（1）=1+3+5+7+（2n1）.f（x）=x+3x2+5x3+7x4+（2n1）xn.f（）=+3（）2+5（）3+7（）4+（2n1）（）n. 两边同乘以，得f（）=（）2+3（）3+5（）4+（2n3）（）n+（2n1）（）n+1. ，得f（）=+2（）2+2（）3+2（）n（2n1）（）n+1，即f（）=+（）2+（）n1（2n1）（）n+1.f（）=1+1+（2n1）=1+（2n1）=1+2（2n1）3.f（）3.思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明anan1（n2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）.4.等差数列an中，当a10，d0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当a10，d0时，数列an为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，an为常数列.5.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.教师下载中心教学点睛本节教学时应注意以下几个问题：1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+（mn）d.2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设ad，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a3d，ad，a+d，a+3d.4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.拓展题例【例1】 已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为an，则a1=11.数列5，8，11，与3，7，11，公差分别为3与4，an的公差d=34=12，an=12n1.又5，8，11，与3，7，11，的第100项分别是302与399，an=12n1302，即n25.5.又nN*，两个数列有25个相同的项.其和S25=1125+12=3875.分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为an与bn，则an=3n+2，bn=4n1.设an中的第n项与bn中的第m项相同，即3n+2=4m1，n=m1.又m、nN*，设m=3r（rN*），得n=4r1.根据题意得 解得1r25（rN*）.从而有25个相同的项，且公差为12，其和S25=1125+12=3875.【例2】 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.解：设等差数列an的公差为d，则Sn=na1+n（n1）d.S7=7，S15=75，即 解得a1=2，d=1.=a1+（n1）d=2+（n1）=.=.数列是等差数列，其首项为2，公差为.Tn=n2n.9