高考第一轮复习数学：3.2等差数列.doc

3.2 等差数列

●知识梳理
1.等差数列的概念
若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列.
2.通项公式：an=a1+（n－1）d，推广：an=am+（n－m）d.
变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.
3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.
4.前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd.
变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.
●点击双基
1.（2003年全国，文5）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是
A.48 B.49 C.50 D.51
解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50.
答案：C
2.（2003年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于
A.1 B. C. D.
解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=.
答案：C
3.（2004年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.
解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.
答案：3n2
4.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________.
解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即f（－5）+ f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.
答案：3
●典例剖析
【例1】 数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{an}是等差数列.
剖析：（1）注意讨论p的所有可能值.
（2）运用公式an= 求an.
解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，
∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.
当n=2时，a1a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.
∵a1≠a2，故p=.
（2）由已知Sn=nan，a1=0.n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.
∴=.则=，…，=.
∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.
故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.
评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.
【例2】 已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.
剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则
解得
∴S110=110a1+×110×109d=－110.
评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.
思考讨论
此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
剖析：由Sn=12n－n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（n∈N*），可知{an}为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.
解：当n=1时，a1=S1=12－12=11；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n.
∵n=1时适合上式，
∴{an}的通项公式为an=13－2n.
由an=13－2n≥0，得n≤，即当 1≤n≤6（n∈N*）时，an＞0；当n≥7时，an＜0.
（1）当 1≤n≤6（n∈N*）时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n－n2.
（2）当n≥7（n∈N*）时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=（a1+a2+…+a6）－（a7+a8+…+an）=－（a1+a2+…+an2（a1+…+a6）
=－Sn+2S6=n2－12n+72.
∴Tn=
评述：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{an}的求和问题.
深化拓展
若此题的Sn=n2－12n，那又该怎么求Tn呢？
答案：Tn=
●闯关训练
夯实基础
1.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则
A.S1，S2，…，S10都小于0，S11，S12，…都大于0
B.S1，S2，…，S19都小于0，S20，S21，…都大于0
C.S1，S2，…，S5都小于0，S6，S7，…都大于0
D.S1，S2，…，S20都小于0S21，S22，…都大于0
解析：由题意知 可得d＞0，a1＜0.
又a11＞|a10|=－a10，∴a10+a11＞0.
由等差数列的性质知a1+a20=a10+a11＞0，∴S20=10（a1+a20）＞0.
答案：B
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
解析：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p.
∴S13==13a7=p.
答案：C
3.在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.
解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.
答案：85
4.将正偶数按下表排成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

2
4
6
8
第2行
16
14
12
10

第3行

18
20
22
24
……

……
28
26

那么2004应该在第______________行第______________列.
解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.
解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.
答案：251 3
5.（2004年全国，文17）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通项{an}；
（2）若Sn=242，求n.
解：（1）由an=a1+（n－1）d，a10=30，a20=50，
得方程组a1+9d=30， ①
a1+19d=50. ②
由①②解得a1=12，d=2，故an=2n+10.
（2）由Sn=na1+d及Sn=242，得方程12n+×2=242，解得n=11或n=－22（舍）.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.
解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且＜0，解之得－＜d＜－3.
（2）由an=12+（n－3）d＞0，由－＜d＜－3，易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.
培养能力
7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an的表达式.
（1）证明：∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）.
∴－=2.又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1），=2+（n－1）·2=2n，∴Sn=.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－=－〔或n≥2时，an=－2SnSn－1=－〕；
当n=1时，S1=a1=.∴an=
8.有点难度哟！
（理）设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）－（2x+）有最小值－1.
（1）求a的值；
（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:数列{bn}是等差数列.
（1）解：∵f（x）=a（x－）2+a－，由已知知f（）=a－=－1，且a＞0，解得a=1，a=－2（舍去）.
（2）证明：由（1）得f（x）=x2－2x，
∴Sn=n2－2n，a1=S1=－1.
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2－2n－（n－1）2+2（n－1）=2n－3，a1满足上式即an=2n－3.
∵an+1－an=2（n+1）－3－2n+3=2，∴数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列.
∴a2+a4+…+a2n=
==n（2n－1），即bn==2n－1.
∴bn+1－bn=2（n+1）－1－2n+1=2.又b2==1，
∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
（文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，则
an=780+（n－1）×（－20）=800－20n.
由an≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18.
当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.
到乙商场购买每台约售价为800×75%=600元.
价差（800－20n）n－600n=20n（10－n）.
当n＜10时，600n＜（800－20n）·n；
当n=10时，600n=（800－20n）·n；
当10＜n≤18时，（800－20n）＜600n；
当n＞18时，440n＜600n.
答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
探究创新
9.有点难度哟！
已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（－1）=n.试比较f（）与3的大小.
解：∵f（1）=a1+a2+…+an=n2.
依题设，有=n2，故a1+an=2n，即2a1+（n－1）d=2n.
又f（－1）=－a1+a2－a3+a4－a5+…－an－1+an=n，
∴·d=n，有d=2.进而有2a1+（n－1）2=2n，解出a1=1.
于是f（1）=1+3+5+7+…+（2n－1）.
f（x）=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn.
∴f（）=+3（）2+5（）3+7（4+…+（2n－1）（）n. ①
①两边同乘以，得
f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n－3）（）n+（2n－1）（）n+1. ②
①－②，得f（）=+2（）2+2（）3+…+2（）n－（2n－1）（）n+1，
即f（）=++（）2+…+（）n－1－（2n－1）（）n+1.
∴f（）=1+1+++…+－（2n－1）=1+－（2n－1）=1+2－－（2n－1）＜3.
∴f（）＜3.
●思悟小结
1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.
2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.
3证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：
（1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；
（2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.
4.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.
5.复习时，要注意以下几点：
（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.
（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
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教学点睛
本节教学时应注意以下几个问题：
1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+（m－n）d.
2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a－d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.
4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.
5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.
拓展题例
【例1】 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.
分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11.
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，∴an=12n－1.
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴an=12n－1≤302，即n≤25.5.
又n∈N*，∴两个数列有25个相同的项.
其和S25=11×25+×12=3875.
分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.
解法二：设5，8，11，…与3，7，11，…分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n－1.
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，即3n+2=4m－1，∴n=m－1.
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），得n=4r－1.
根据题意得 解得1≤r≤25（r∈N*）.
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+×12=3875.
【例2】 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.
解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d.
∵S7=7，S15=75，∴即
解得a1=－2，d=1.∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.
∴－=.∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为.
∴Tn=n2－n.

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