2022届高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪训练31等差数列及其前n项和文.doc

课时跟踪训练(三十一) 等差数列及其前n项和
[根底稳固]
一、选择题
1．(2022·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{an}中，a3＝1，公差d＝2，那么a8的值为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
[解析]　a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，应选C.
[答案]　C
2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，那么a5＝(　　)
A．11 B．10
C．7 D．3
[解析]　设数列{an}的公差为d，那么有解得所以a5＝－2＋4×3＝10.应选B.
[答案]　B
3．(2022·湖北武汉调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，那么的值为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　因为S5＝3(a2＋a8)，所以5a1＋10d＝3(2a1＋8d)，即a1＝－14d，所以＝＝＝.
[答案]　D
4．(2022·安徽合肥二模)是等差数列，且a1＝1，a4＝4，那么a10＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　由题意，得＝1，＝，所以等差数列的公差为d＝＝－，由此可得＝1＋(n－1)×＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.应选A.
[答案]　A
5．(2022·山西太原一模)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，那么a6＝(　　)
A．8 B．6
C．4 D．3
[解析]　由等差数列的性质可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，应选D.
[答案]　D
6．(2022·辽宁鞍山一中期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，假设m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，那么m等于(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9
[解析]　因为am－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝a.根据等差数列的性质得2am＝a，显然am≠0，所以am＝2.又因为S2m－1＝38，所以S2m－1＝＝(2m－1)am.将am＝2代入可得(2m－1)×2＝38，解得m＝10.应选C.
[答案]　C
二、填空题
7．(2022·江苏卷){an}是等差数列，Sn是其前n项和．假设a1＋a＝－3，S5＝10，那么a9的值是________．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，那么a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10.解得a1＝－4，d＝3，那么a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
[答案]　20
8．(2022·广东深圳中学月考)数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，那么使Sn取到最大值的n等于________．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由题意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5，所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.
[答案]　6
9．(2022·辽宁师大附中期末)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，那么＝________.
[解析]　在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.
[答案]　
三、解答题
10．数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝，证明：是等差数列．
[证明]　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
∴－＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
[能力提升]
11．(2022·河南百校联盟质监)等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a2022＝2022，且－＝2000，那么a1等于(　　)
A．－2022 B．－2022
C．－2022 D．－2022
[解析]　解法一：因为Sn＝，所以＝.因为－＝2000，所以＝＝2000，所以d＝2.又因为a2022＝2022，所以a1＋(2022－1)×2＝2022，解得a1＝－2022，应选C.
解法二：因为Sn＝na1＋d，所以＝n＋a1－，故是以a1为首项，以为公差的等差数列．所以－＝2000×＝2000，所以d＝2.所以a2022＝a1＋(2022－1)×2＝2022，所以a1＝－2022.应选C.
解法三：由题意得

解得应选C.
[答案]　C
12．(2022·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，那么满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，那么an＝a1＋(n－1)d.∵a6＋a7＝a3＋a10>0，即2a1＋11d>0，且a6a7<0，a1>0，∴a6>0，a7<0.∴d＝a7－a6<0.又∵a7＝a1＋6d<0，∴2a1＋12d<0.当Sn＝＝>0时，2a1＋(n－1)d>0.由2a1＋11d>0,2a1＋12d<0知n－1最大为11，即n最大为12.应选C.
[答案]　C
13．(2022·长安一中月考)假设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，那么当n＝________时，{an}的前n项和最大．
[解析]　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.
[答案]　8
14．(2022·安徽合肥一中第三次段考)数列{an}是各项为正且首项为1的等差数列，Sn为其前n项和，假设数列{}也为等差数列，那么的最小值是________．
[解析]　设数列{an}的公差为d(d>0)，
即有an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋n(n－1)d，
＝ ，由于数列{}也为等差数列，
可得1－d＝0，即d＝2，
即有an＝2n－1，Sn＝n2，
那么＝＝≥·2·＝2，当且仅当n＝2取得等号，
由于n为正整数，即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得.故最小值为.
[答案]　
15．(2022·河南南阳期终质量评估)设f(x)＝(a>0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[解]　(1)证明：an＋1＝f(an)＝，所以＝＝＋，
即－＝，又a1＝1，所以＝1.
所以是首项为1，公差为的等差数列．
所以＝1＋(n－1)＝.
所以an＝.
(2)bn＝an·an＋1＝·
＝a2，
设数列{bn}的前n项和为Tn，那么
Tn＝
a2
＝a2＝a2·＝，
即数列{bn}的前n项和为.
16．数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，假设bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
[解]　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，
故数列{an}为等差数列．
设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，
解得a1＝2，d＝4.
∴an＝4n－2，那么bn＝an－30＝2n－31，
令即解得≤n≤，
∵n∈N*，∴n＝15，
即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{bn}的首项是－29，公差为2，
∴T15＝＝－225，
∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.
[延伸拓展]
　数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？假设存在，求出λ的值；假设不存在，请说明理由．
[解]　(1)∵a1＝5，
∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)解法一：假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，
那么有2b2＝b1＋b3.
∴2×＝＋.
∴＝＋.解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝－
＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．
解法二：假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
设bn＝，由{bn}为等差数列，
那么有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．
∴2×＝＋.
∴λ＝4an＋1－4an－an＋2
＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)
＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.
综上可知，当λ＝－1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．