初一数学竞赛系列训练2答案.doc

初一数学竞赛系列训练2答案1、x=4,y=5,z=4,u=4,故x+y+z+u=17 选A2、当n=2时，3n2-3n+3是3 的平方，当n=3时，5n2-5n-5是5 的平方，当n=4时，11n2-11n-11是11 的平方，所以选C3、最小的奇质数3，小于50的的最大质数是47，大于60的最小质数是61，3+47+61=111故选C4、49是奇数，故两个质数中必有一个是偶数2，从而另一个是47，所以 故选B5、56a+392b=237(a+7b) a+7b含因子2和7 要求a+b取最小值，取a=7，于是1+b2，b=1, a+b的最小值为86、除2以外的质数都是奇数，从而r是奇质数，于是p和q必是一奇一偶，又pn1-n2 所以有n1+n2=79、 n1-n2=1，解得n1=40，n2=3913、设N=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111(a+b+c)=337(a+b+c)要使N是一个完全平方数，只有a+b+c至少含有3和37这两个因数，由于a、b、c只能取0，1，2，9(a0)，所以a+b+c2737，所以37(a+b+c)是不可能的则对任意的三位数，都不可能成为完全平方数14、=11(100x+y)是一个完全平方数，则11(100x+y)又100x+y=99x+(x+y)，11(x+y) 而1x+y18, x+y=11经验证x=7，y=4 故所求四位数是7744。15、a、b、c、d都是质数，且10cd20，于是c可取11、13、17，而d可取13、17、19，又c-a是大于2的质数，所以a=2，注意到cd，则c=13 (1) 若d=17，则172-132=8b(2+b)，即b2+2b-15=0 b=3若b=-5(不合，舍去)。(2) 若d=19，则192-132=8b(2+b)，即b2+2b-24=0 b=4若b=-6(都不合，舍去)。a=2，b=3，c=13，d=1716、由4m=4(ab+cd)2-(a2+b2-c2-d2)=(2ab+2cd+a2+b2-c2-d2) (2ab+2cd-a2-b2+c2+d2)=(a+b)2-(c-d)2(c+d)2-(a-b)2=(a+b+c-d) (a+b-c+d) (a-b+c+d) (-a+b+c+d) 注意到式最后四个因式都是偶数，所以4m是16的倍数，所以必是4的倍数，所以是合数。17、设三位数为A=100a+10b+c，其中a,b,c为0,1,2,9的整数，且a0由题意 100a+10b+c=n2，abc=n-1，显然c0，否则n=1，A=1不是三位数若c为偶数，则abc=n-1也为偶数，则n为奇数，从而n2为奇数，但个位数为偶数，所以这不可能。若c为奇数，由于A是完全平方数，则c只能是1，9，5又由 100n23,则可设p=3k1, 则8p2+1=8 (3k1)2+1=3 (24k216k+3) ,由k为正整数可知24k216k+31于是8p2+1是合数，所以p只能是2或3若p=2，8p2+1=33是合数，于是p2，若p=3，8p2+1=73是质数，所以p=3当p=3时，8p2-p+2=71，因为71是质数，于是本题得证。- 3 -