初一数学竞赛系列训练3答案.doc

上海市尚德实验学校 杨晓 Email:qdyangxiao@
初一数学竞赛系列训练3答案
1、∵1111111111´9999999999=1111111111´(10000000000-1)
=11111111110000000000-1111111111
=11111111108888888889
∴乘积的数字中有奇数10个
2、n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)，要使作竖式加法时各位均不产生进位现象，则自然数n的各位数字都不超过3。若n为一位数，则“连绵数”有1、2两个；若n为二位数，则“连绵数”有10，11，12，20，21，22，30，31，32共9个；若n为三位数，则“连绵数”只有100这一个。故不超过100的“连绵数”共有2+9+1=12个。选C
3、前27个数中，个位数字之和是2´27=54，十位数字之和是2´26=52，故前27个数相加，和的十位数字是5+2=7，选B
4、19932002的末位数字和19932的末位数字相同，是9
19952002的末位数字和19952的末位数字相同，是5
所以19932002+19952002的末位数字是4，选B
5、设BID=x， FOR=y，则有3(1000x+y)=4(1000y+x)，整理得 2996x=3997y
化简得：428x=571y，由于x、y都是三位数，且428与571互质，故得
x=571，y=428，所以密码破译成数字的形式是3•571428=4•428571
6、设§=x，ª=y 则由于141§28ª3是99的倍数，所以141§28ª3被9´11整除。
则1+4+1+x+2+8+y+3是9的倍数，(1+1+2+y)-(4+x+8+3)是11的倍数，
即x+y+1是9的倍数，y-x是11的倍数。
因为 -9≤y-x≤9，所以y-x=0，即y=x
又1≤x+y+1=2 x+1≤19，所以要使x+y+1是9的倍数，必须2 x+1= x+y+1=9或18
但2 x+1是奇数，所以 2 x+1=9，从而y=x=4，即§=4，ª=4
7、∵
于是，可将111分解成一个一位数与一个两位数的积，显然111=3´37满足条件，且111只有这一种分解法，故a=3，b=7
8、按百位数字分类讨论：
① 百位数字是8，9时不存在，个数0；
② 百位数字是7，只有789，1个；
③ 百位数字是6，只有679，678，689，共3个；
④ 百位数字是5，有567，568，569，578，579，589，共6个；
⑤ 百位数字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10个；
⑥ 百位数字是3时，共15个；
⑦ 百位数字是2时，共21个；
⑧ 百位数字是是1时，共28个。
总计，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80个。
9、设则其中为8或9，因为250052，10，
被11除的余数分别为0，－1，1，可设250052＝
为正整数，故可得所以所求四位数是1885或1995．
10、4343=4340´433=(434)10´433，∵434的末位数字与34的末位数字相同，∴434的末位数字是1，从而(434)10的末位数字也是1；433的末位数字与33的末位数字相同，是7
∴4343的末位数字是7
11、2 m+2000-2 m =2 m (2 2000-1)，∵2 2000的末位数字与24的末位数字相同为6，
∴2 2000-1的末位数字是5，又2 m是偶数，∴2 m (2 2000-1) 的末位数字是0
12、设，因为m、n是自然数，所以，则8<m,8<n
可设m=8+a，n=8+b 则
∴(8+a) (8+b)=8(8+b)+8(8+a)，化简得：ab=64
把64分解成两个因数的积的形式，一个因数是a，另一个因数是b
① 64=1´64，取a=1，b=64，则
② 64=2´32，取a=2，b=32，则
③ 64=4´16，取a=4，b=16，则
④ 64=8´8，取a=8，b=8，则
共有四组解。
13、首先x的万位数字显然是2，则y的万位数字是5，其次x的千位数字必大于5，但百位数字乘2后至多进到1到千位，这样千位数字只能是9，依次类推得到x的前四位数字是2，9，9，9。x的个位数字只能是1，3，5，7，9，经验证是5。所以x是29995
14、首先确定原数是几位数。若原数是五位数，则它最小是，已超过10879，与已知条件不符；若原数是三位数，则它与它的反序数之和最大为999+999=1998，还不到10879，也与已知条件不符。所以原数是四位数。
因为它的前两位数字相同，故可设原数是，其中a≥1,c≥1，
则它的反序数为，由题意得：+=10879，即
(103a+102a+10b+c)+(103c+102b+10a+a)=10879，∴1001(a+c)+110(a+b)= 10879，
比较上式两边的末位数，得 a+c=9，代入上式得 a+b=17
由于a =17- b≥17-9=8，且c≥1，所以a=8,代入可求得 c=1，b=9
所以原数是8891
15、设这个数为x，依题意，x与9x的数字和相同。而9x的数字和能被9整除，所以x的数字和也能被9整除，从而x只可能是：18，27，36，45，54，63，72，81，90，99
经检验，其中只有18，45，90，99符合要求。
16、因为123456789=12345678´10+9 而连续10个自然数的平方和的末位数都是5。
所以12+22+32+42+…[phone]=02+12+22+32+42+…[phone]
的末位数是12345679´5的末位数。
所以12+22+32+42+…[phone]的末位数5
17、从两个数相乘的进位情况进行考虑。
由于被乘数与乘积都是四位数，说明a´9没有进位，∴a=1
又d´9的个位数是a=1，∴d=9。这样算式就变为：
1bc9
´ 9
9cb1
再考虑b´9，由于b´9没有进位，所以b=0或1
若b=1，则c=9，但c=9时，十位c´9要进位，这是不可能的，∴b≠1
于是b=0，则c=8。故所求的四位数为1089
18、设：
-)

由于a3>a1，所以可得：
b1=(10+a1)-a3 ① b2=(10+a2-1)-a2=9 ② b3=(a3-1)-a1 ③
①+③得：b1 +b3=9
∴+=100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=100´9+20´9+9=1089
19、对于“好数”n，n+1= a+b+ab+1=(a+1) (b+1)
即n+1是合数。反过来n+1是合数，n是“好数”
在2到101中有26个质数 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101
则有74个合数，即1到100中有74个“好数”
20、可以利用竖式 A O M E N
+ M A C A O
？ ？ ？ ？ ？
问题即确定和S=？？？？？的最大值
最大值是99782，一方面有： 1 7 8 6 5
+ 8 1 9 1 7
9 9 7 8 2
另一方面，可以证明和S≤99782，理由如下：
首先，A+M是一位数，为使S最大，A+M可能为9也可能为8。
若A+M=8，则A≤7，O+A≤9+7=16，而MEN+CAO<1000+1000=2000
所以和S≤80000+16000+2000=98000，所以A+M=9
于是O+A是一位数(不进位)，并且O+A≠A+M，所以为使S最大，O+A可能为8也可能为7，若O+A=7，则S≤97000+2000=99000，所以O+A=8
M+C应当尽可能大。但M、C不同，所以M+C=17或16。
若M+C=16，因为O+A=8，所以A≤7，S≤99600+98+76<99780，所以M+C=17
由上式知M=8或9。又A+M=9，则M=8，从而A=1，C=9，O=7
现在未出现的数字只有6，5，4，3，2。因此，EN最大为65。所以S最大时，AOMEN和MACAO分别是17865和81917，从而和可能的最大值是99782