参数方程普通方程互化.ppt

第第2课时课时参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化第二讲一 曲线的参考方程学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.复习回复习回顾顾齐次函数（化齐次函数（化一）一）非齐次函数（化非齐次函数（化二）二）xrcosyrsinx a rcosy b rsin圆的参数方程圆的参数方程1.运运用用圆圆的的参参数数方方程程，可可以以将将相相关关问问题题转转化化为为三三角角函函数数问题，利用三角函数知识解决问题问题，利用三角函数知识解决问题.反思与感悟思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么？把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案答案答案关键是消参数关键是消参数.(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲曲线线的的参参数数方方程程和和普普通通方方程程是是曲曲线线方方程程的的不不同同形形式式.一一般般地地，可以通过可以通过_ 而从参数方程得到普通方程；而从参数方程得到普通方程；如果知道变数如果知道变数x，y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，例如的关系，例如 ，把，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么，那么梳理梳理就是曲线就是曲线的的参数方程参数方程.消去参数消去参数xf(t)yg(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法参数方程化为普通方程的三种常用方法代入法：利用解方程的技巧求出参数代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；，然后代入消去参数；三角函数法：利用三角恒等式消去参数；三角函数法：利用三角恒等式消去参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.特别提醒：化参数方程为普通方程特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)0，在消参过程中注，在消参过程中注意变量意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和和g(t)的值域得的值域得x，y的取值范围的取值范围.例例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.类型一参数方程化为普通方程得得y2x3(x1)，这是以，这是以(1,1)为端点的一条射线为端点的一条射线.所以所求的方程为所以所求的方程为xy1(x1，y2).方程表示直线方程表示直线(去掉一点去掉一点(1,2).所以所以xy1(x1，y2).方程表示直线方程表示直线(去掉一点去掉一点(1,2).消去参数方程中参数的技巧消去参数方程中参数的技巧(1)加加减减消消参参数数法法：如如果果参参数数方方程程中中参参数数的的符符号号相相等等或或相相反反，常常常利用两式相减或相加的方法消去参数常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代代入入消消参参数数法法：利利用用方方程程思思想想，解解出出参参数数的的值值，代代入入另另一一个个方方程程消消去去参参数数的的方方法法，称称为为代代入入消消参参法法，这这是是非非常常重重要要的的消消参参方法方法.(3)三角函数式消参数法：三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数消去参数.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程.(x1)2ycos2sin21，即即y(x1)21(0y1)，普通方程为普通方程为yx21(0y1).(2)由由xsin cos，得，得x212sin cos 1sin 2，x2y1，普通方程为普通方程为yx21(0y1).例例2根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.类型二普通方程化为参数方程(2)x2yx10，xt1.(t为为参参数数)(2)将将xt1代入代入x2yx10，得，得yx2x1(t1)2t11t23t1，(1)普普通通方方程程化化为为参参数数方方程程时时，选选取取参参数数后后，要要特特别别注注意意参参数数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知曲线的普通方程为已知曲线的普通方程为4x2y216.(1)若令若令y4sin(为参数为参数)，如何求曲线的参数方程？，如何求曲线的参数方程？解解 (1)把把y4sin 代入方程，得到代入方程，得到4x216sin216，于是于是4x21616sin216cos2，x2cos.(2)若若令令yt(t为为参参数数)，如如何何求求曲曲线线的的参参数数方方程程？若若令令x2t(t为为参数参数)，如何求曲线的参数方程？，如何求曲线的参数方程？(2)将yt代入普通方程4x2y216，得4x2t216，因此，椭圆因此，椭圆4x2y216的参数方程是的参数方程是例例3已已知知x，y满满足足圆圆C：x2(y1)21的的方方程程，直直线线l的的参参数数方程为方程为类型三参数方程与普通方程互化的应用(1)求求3x4y的的最最大大值值和和最最小小值值；(2)若若P(x，y)是是圆圆C上上的的点点，求求P到到直直线线l的的最最小小距距离离，并并求求此此时时点点P的的坐标坐标.3x4y的最大值为的最大值为9，最小值为，最小值为1.(1)参参普普互互化化有有利利于于问问题题的的解解决决，根根据据需需要要，合合理理选选择择用用参参数数方程还是普通方程方程还是普通方程.(2)解决与圆有关的最大值，最小值时，通常用圆的参数方程，解决与圆有关的最大值，最小值时，通常用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最大值，最小值问题将问题转化为三角函数的最大值，最小值问题.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3在在直直角角坐坐标标系系xOy中中，直直线线l的的方方程程为为xy40.以以原原点点O为为极极点点，以以x轴轴正正半半轴轴为为极极轴轴的的极极坐坐标标系系中中，曲曲线线C的的极极坐坐标方程为标方程为 .(1)求求直直线线l的的极极坐坐标标方方程程，曲曲线线C的的直直角角坐坐标标方方程程；(2)若若点点P是是曲曲线线C上上任任意意一一点点，P点点的的直直角角坐坐标标为为(x，y)，求，求x2y的最大值和最小值的最大值和最小值.解解(1)直线直线l的方程为的方程为xy40，因为，因为xcos，ysin，所以所以l的极坐标方程为的极坐标方程为cossin40.所以所以24cos4sin60，因为因为2x2y2，xcos，ysin，所以曲线所以曲线C的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x2)2(y2)22.1.若若点点P在在曲曲线线cos2sin3上上，其其中中0 ，0，则点则点P的轨迹是的轨迹是()A.直线直线x2y3 B.以以(3,0)为端点的射线为端点的射线C.圆圆(x1)2y21 D.以以(1,1)，(3,0)为端点的线段为端点的线段D2.将参数方程将参数方程 (为参数为参数)化成普通方程为化成普通方程为()A.yx2 B.yx2C.yx2(2x3)D.yx2(0y1)解析由解析由x2sin2，得，得sin2x2，代入，代入ysin2，yx2.又又sin2x20,1，x2,3.Cy2x1(1x1)圆圆解解析析x2y2(3cos 4sin)2(4cos 3sin)225，表表示示圆圆.x2y2(y2)规律与方法1.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化参参数数方方程程化化为为普普通通方方程程，可可通通过过代代入入消消元元法法和和三三角角恒恒等等式式消消参参法法消消去去参参数数方方程程中中的的参参数数，通通过过曲曲线线的的普普通通方方程程来来判判断断曲曲线线的的类型，研究曲线的性质类型，研究曲线的性质.由由普普通通方方程程化化为为参参数数方方程程要要选选定定恰恰当当的的参参数数，寻寻求求曲曲线线上上任任一一点点M的的坐坐标标x，y和和参参数数的的关关系系，根根据据实实际际问问题题的的要要求求，可可以以选选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.3.参数方程与普通方程的等价性参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性程与普通方程的等价性.