资源描述
§5.1认识不等式
【学习目标】
一、背景分析
1．教材分析
客观世界中不仅存在大量的相等关系，也存在着许许多多不等关系。不等关系用不等式来表示，与方程一样，不等式是刻画现实世界的一种重要数学模型。本章是中学阶段代数不等式的起始内容，它不仅是今后进一步学习不等式的证明和解不等式的重要基础，而且也是后面学习函数等知识的基础.它是在学习了一元一次方程、二元一次方程组之后的后续内容，贯穿于数学学习的始终,起着横贯上下的作用.本节是本章的第一课时，主要是认识不等式.让学生理解不等式的意义，能正确列出不等式，并在数轴上表示简单不等式，渗透建模、类比、分类等思想方法
2．学生情况分析
学生在小学对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解,但对含有未知数的不等式还是第一次接触，本节就是对“不等”这一概念进一步明确，使它成为一种有效的数学工具.学生在列不等式时，对数量关系中的“不大于”、“不小于”、“负数”、“非负数”等数学术语的含义不能准确理解，在把用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式时有一定困难。
二、教学目标设计
1.知识与技能：
（1）能够从现实问题中的大小关系了解不等式的意义。
（2）了解不等号的意义。
（3）会根据给定条件列不等式。
（4）会用数轴表示“x＞a”,“x≤a”,“b＜x＜a”这类简单不等式.
2.过程与方法：
经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
3.情感态度与价值观：
使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.
【学习重、难点】
1.重点：不等式的意义及列不等式。
2.难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
【教学过程】
（任务一）看教材P96-97的例一之前的内容，解决问题一
问题一：
1、 采用四人组小组合作学习的方式，寻找教室中所存在的不等关系有
2、 认识不等号，不等号有
常见不等号的读法和意义填空：
不等号
读 法
表示的意义
＞
大于
＜
左边的量比右边的量小
≥
大于或等于
≤
左边的量不大于右边的量
≠
不等于
左边的量大于或小于右边的量
3、 认识不等式，不等式指
（设计意图）数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．根据课本给出的实际问题，通过上面5个实例,学生们切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.帮助学生去理解不等式的作用，是刻画现实世界数量关系的一种重要模型。通过以上探索，学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义，在学生认识了不等关系和不等号后，得出不等式是水到渠成的。
接着尝试新知识，试一试：
1.在数学表达式： ① 3<0 ； ②3x+5>0； ③x2-6 ； ④x=-2； ⑤y≠0 ；⑥x+2≥x中，不等式的个数是（ ）
（A）2； （B）3； （C）4； （D）5
2.请选择适当的不等号填空：（ “>” 、≥、 ”“< ”、“≠ 、”“≤” ）
（1） –3.14 –π；（2） 3；（3）若a ≠b,则2a 2b；（4）–a2 0
3.举例说明数学问题中的不等式有哪些？
（设计意图）通过练习，让学生巩固不等式概念及意义，以及不等号运用。并让学生回顾初中阶段数学学习过程的不等式问题，从而加深对不等式的认识。
（任务二）看教材P97的例一，解决问题二
问题二：
1、根据下列数量关系列不等式：
①m是负数 ②a与b的和大于1 ③y减去1不大于2
④x3加上y2小于25 ⑤x2的两倍与y2的和不等于-5
⑥a是正数 （补充：a是负数 ，a是非负数 ，a是非正数）
（设计意图）让学生感受到不等关系，能抓住关键词语，并转化为不等号，还可以把“a是正数”变式为“a是负数”、 “a是非负数”,“a是非正数”等,让学生反复体味不等号的用法和意义。
2、学生归纳:
1.列不等式的基本步骤:
（1）
（2）
（设计意图）通过学生自己归纳可以培养学生的学习能力并顺利突出本节重点。
2.常用的表示不等关系的词语及对应的不等号:
关
键
词
语
第一类：明确表明数量的不等关系
第二类：明确表明数量的范围特征
①大 于
②比…大
①小 于
②比…小
①不大于
②不超过
③至 多
①不小于
②不低于
③至 少
正数
负数
非负数
非正数
不等号
＞
＜
≤
≥
＞0
＜0
≤0
≥0
（设计意图）通过归纳，加深对不等号的用途和意义的理解，难点再次突破.
加强巩固练习（小组大比拼）：
1、 根据下列数量关系列不等式：
①有意义，X的取值范围 ②a的一半不小于-7
③y的20%小于x与1上的和 ④正数a与1的和的算术平方根大于1
⑤设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.
（设计意图） 在具体的教学手段中，通过小组比拼练习，加强学生的学习兴趣，让学生掌握不同关键词下不等号的种类变化形式，并能根据数量关系建立不等式模型解决实际问题。
（任务三）合作探究，再学新知
1.(1) X＜2表示什么意义?（ X＜2表示所有小于2的数的全体。）那么X≤2呢? X≥4呢?
(2)怎样在数轴上表示X＜2?
挑战! 2 ＜x＜3在数轴上怎样表示呢?
(设计意图)先让学生进一步明确不等式的意义，不等式表示的是一个范围，是一个数的集体，为在数轴上表示不等式准备。在数轴上所表示的不等式不是一个点，而是符合要求的所有点的集合。
2.练习：想一想，数轴上表示的是什么数?
3.你能在数轴上分别类似地表示x＞a，x≤a和b≤x＜a（b＜a）吗?
(设计意图)在这块教学中，师生共同合作，先表示出X＜2,再同学间相互合作，表示X≤2，X≥4，体验在数轴上表示时空实心区别，方向区别，最后自我挑战性的完成2 ＜x＜3，让学生体验成功的喜悦。
变式练习：
1.在数轴上表示下列不等式
①X＜-3 ②x≥ ③-2＜x≤4
2.学生归纳用数轴表示不等式时，注意点是什么?
(设计意图)通过训练让学生感受数形结合的思想，让学生自己归纳用数轴表示不等式时的注意点，加强对知识的巩固，突出重点。
（任务四）例题精析，综合运用
例题：一座小水电站的水库水位在12－20米（包括12米，20米）时，发电机能正常工作，设水库的水位为x米, (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上(2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗? ①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=21.请用不等式和数轴给出解释．
（设计意图）本例题既要列不等式，还要在数轴上表示不等式，是对前面新知识的巩固运用，并且还要解决实际问题，在学生能力上有较高要求，是对本节知识的综合运用。是本节的一个难点，为突破该难点，因而选择逐题突破，帮扶结合的方法来完成该例题教学。并在最后安排学生阅读本题解题过程，这样既锻炼学生的阅读能力，又为学生以后的自主学习做铺垫。在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用.有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构.
能力提升，拓展新知：
1.实数a,b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空
①a b ②|a| |b| ③a+b 0 ④a-b 0 ⑤ab 0
2.小明和小华在探究数学问题。小明说:“ 3y＞4y 。”小华认为小明说错了,聪明的你觉得呢?
（设计意图）体现“人人学习有价值的数学,不同的人在数学上取得不同的发展”，训练学生思维，培养学生分析问题能力，让学优生能力上有进一步的提高.
（任务五）反思盘点，整合新知
通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？
(设计意图)通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.
结束本课，展示人生不等式，数学课堂与意志教育相结合。
板书设计
§5.1 认识不等式
1．不等式：
2．不等式号：
3．列不等式步骤：
4．画数轴注意点：
探索过程要点：
学生板演：
（设计意图）尽管电化教学直观有趣,但是绝对不可能完全取代板书.板书可以把教学内容形象精炼地呈现在黑板上，对学生理解教学内容、启发思维、发展智力、指引学路……，都起着画龙点睛的作用.
课后作业精选：
1、 观察下列式子：①-3＞0；②4x+3y≥0；③x=3；④x≠5；⑤x2+xy+y2，其中属于不等式的是
设计意图：让学生巩固不等式的定义，会根据不等式的特征判断不等式。
2、据报道：2013年3月5日，杭州市的最高气温为20℃，最低气温为12℃。这天该市气温t（℃）的范围是（ ）
A.t＞20℃ B.t≤12℃ C.12℃＜t＜20℃ D.12℃≤t≤20℃
设计意图：该题比较贴近生活，关键是考查不等号中的等号能否取到的问题。
3、已知a,b为两个连续整数，且a＜√11＜b，则a+b=
设计意图：让学充分理解根式在数轴上的具体数据，以及不等号所表示的实际意义。
4、根据下列数量关系列不等式：
①x与-3的和是负数 ②2x与1的和小于0
③x与5的和的28%%不大于-6 ④m与1的相反数的和为非负数
⑤a除以4的商加上3之多为5 ⑥x的绝对值与1的和不小于1
设计意图：此题中所列不等式设计的范围较广，由易到难，出现多种类型，不断出现变式，让学生加深对不等号意义的理解。
5、在数轴上表示下列不等式：
①x≤-√3 ②x＞ ③-1＜m≤2
设计意图：让学生感受数学学习中数形结合的思想，在画数轴时要关注具体注意点特别是方向与空实心的取法。
6、如图，若数轴上的两点A,B表示的数分别为a,b,则下列结论正确的是( )
A.a-b＞0 B. ＞0 C.2a+b＞0 D.a+b＞0
设计意图：该题是对知识点的提升，有所难度，特别是对字母意义的理解是学生的弱点，有助于培养学生的能力。
7、在数轴上有P,Q两点，其中点P所对应的数是x，点Q所对应的数是1。已知P，Q两点的距离小于3。
（1）写出x所满足的不等式
（2）数-3,0,4所对应的点到点Q距离小于3吗？
设计意图：利用数轴来判断两点之间的距离，用不等式来表示判断点在数轴上的具体位置。
8.阅读后，请回答下列问题：
已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]=1，[4.3]=5,[6]=6，……
(1)填空：[8.05]= ；[] ；若[x]=5，则x的取值范围是
(2）某市的出租车收费标准如下：3km以内（包括3km）收费5元，超过3km的，每超过1km，加收1.2元（不足1km按1km计算）。用x表示所行的路程（单位：km），y表示行x（km）的应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：当0＜x≤3时，y=5元；当x＞3时，y=5+1.2([x]-3)元。某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所行的路程x(km)的取值范围。
设计意图：对知识点的综合应用，数学学习源于生活贴近生活，用生活中的实际问题数学化，利用不等式模型来解决生活中的问题，有利于学生对只是点的掌握。
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