资源描述
数学思想方法
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1．了解中学的四大数学思想，即方程与函数思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.
2.会用基本的思想方法解答问题.
过程方法
经历自主探究，合作交流中寻求解决问题的方法，及在具体问题的分析过程中，渗透数学思想方法.
情感
态度
充分发挥学生的自主能力和归纳总结能力，激发学生学习数学的兴趣，从而对中考充满信心.
教学
重点
中学数学常见思想方法的归纳总结.
教学
难点
会利用数学思想方法解答具体问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次
备课
知
识
回
顾
【回顾练习】
活动一：创设情境，回顾思想方法
1、 趣味童读
在距离现在一千七百多年前，中国是处于魏、蜀、吴三强鼎立的三国时代.有一天，吴国的孙权送给曹操一只大象，长久居住在中原的曹操从来没有看过这种庞然大物，好奇地想知道这个大怪物的体重到底有多重？于是，他对着臣子们说：“谁有办法把这只大象称一称？”在场的人七嘴八舌地讨论着：有人回家搬出特制的秤，但大象实在太大了，一站上去，就把秤踩扁了；有人提议把大象一块一块地切下分开秤，再算算看加起来有多重，可是在场的人觉得太残忍了，而且曹操喜欢大象可爱模样，不希望为了秤重失去它.就在大家束手无策正想要放弃的时候，曹操7岁的儿子曹冲，突然开口说：“我知道怎么秤了！”他请大家把大象赶到一艘船上，看船身沉入多少，在船身上做了一个记号.然后又请大家把大象赶回岸上，把一筐筐的石头搬上船去，直到船下沉到刚刚画的那一条线上为止.接着，他请大家把在船上的石头逐一称过，全部加起来就是大象的重量了！
2、 读完这个历史小故事，你能说说这则故事蕴含的数学思想吗？
3、你知道中学阶段数学主要的思想方法有哪些？
（1）初中数学主要数学思想有：
方程与函数思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等.
（2）初中数学主要数学方法有：
待定系数法、消元降次法、换元法、配方法、比较法、列举法、公式法等.
1、课间利用多媒体让学生欣赏历史小故事.
2、提出问题：读完这个历史小故事，你能说说这则故事蕴含的数学思想吗？
3、出示课题.
4、引导学生回顾初中常见的数学思想方法.
让学生感受数学的趣味，激发学生的学习兴趣
综
合
运
用
【自主探究】
类型一 转化思想
1.
2.3.
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值______．
归纳：利用化归转化思想解题的过程，就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过条件的转化，结论的转化，化难为易，化繁为简，最终使问题得到解决.
类型二 数形结合思想
1.若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值范围是__________.
2.若正比例函数的图象经过点（ ，2），则这个图象必经过点（ ）．
A．（1，2） B．（ ， ）
C．（2， ） D．（1， ）
归纳：
数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并利用这种结合，探求解决问题的思路.应用其解决问题可使问题更加形象直观.
类型三 函数思想
1.下列四个点，在正比例函数 的图象上的点是（ ）.
A.（2，5） B.（5，2）
C.（2，﹣5） D.（5，﹣2
2．若 是双曲线 上的两点，且 ，则 (填“>”、“=”、“<”)．
3.将抛物线C：y=x²+3x-10，将抛物线C平移到
Cˊ.若两条抛物线C,Cˊ关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（ ）.
A.将抛物线C向右平移 个单位
B.将抛物线C向右平移3个单位
C.将抛物线C向右平移5个单位
D.将抛物线C向右平移6个单位
归纳：
函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、图像及性质去观察问题，分析问题、转化问题、解决问题.用函数思想解题，主要利用两点：
（1）分析自变量的取值范围，确定有关字母的值或值的范围；
（2）根据函数的图像与性质，直观地发现解题思路.
类型四 分类讨论思想
1.如图⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为( ).
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
已知⊙O的半径为13 cm，弦AB//CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为( ).
A．17 cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
归纳：
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则是：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题．
一般把握一个原则：遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想．比如，遇到“等腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论的思想．
【组内交流】
学生根据问题解决的思路和解题中所呈现的问题进行组内交流，归纳出方法、规律、技巧.
1、依次出示问题，鼓励学生大胆尝试、细心计算、探寻方法.
2、在学生解答相关问题后谈话：让学生自主总结数学思想 .
1、在教师的引导下，积极思考填写计算结果，并交流分享学习成果.
2、采取自愿举手的方式谈谈自己的做法.其余学生作评判和补充发言.
【方法】老师在整个习题得出示过程中起引导作用，重点在于让学生从具体问题中总结和提炼出数学思想方法.
课件出示问题.相机展示相关问题的答案，引导学生思维方向，增强课堂教学有效性.
通过几组题型唤醒学生的中考欲望，不断地整理自己的思维，达到见题心中有对策.
从不同的方法中进行知识整合
直
击
中
考
活动三：考题欣赏，发现思想方法
例1.阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得
出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
图2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为阅读材料提供的方法来解决；（3）将面积的等量关系转化为方程.（本题的面积也可用割补法求）
熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验.
例2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 等腰 三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
例3.已知二次函数y=x2+mx+m-2，（1）求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且AB=，求抛物线解析式；
（3）当m取何值是抛物线与x轴两个交点之间的距离最短.
〖点评〗（1）列出△的表达式，用配方法证明△＞0；（2）根据条件AB=列出m的方程，解出m的值即可得到解析式，这是运用待定系数法；（3）用m的代数式表示出两交点之间的距离，再次使用配方法确定距离的最小值.
教师展示问题，学生有针对性独立思考解答，
完成后师生间展评．
完
善
整
合
1.1. 知识结构图
2．本这节课你收获了什么？
师生梳理本课的知识点及及注意问——归结本节课所复习的内容，梳理知识，构建思维导图，凸显数学思想方法.
对内容的升华理解认识
作
业
一、必做题：
1. 如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:
(1) (2) (3) (4)
(第1题图)
sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;
sin2A3+sin2B3= .
(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= .
(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.
二、选做题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2） 探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
第1题学生课下独立完成，延续课堂.
第2题课下交流讨论有选择性完成.
以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐.
三、【板书设计】
易错点总结：
例（1） 例（2）
四、【教后反思】
中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结.
只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变.对中考试卷进行分析就不难发现，许多题目在课本中都能找到影子，不少中考试题就是对课本原题的变型、改造及综合，因此在指导学生复习时要回归课本，尤其是对课本中出现的实践与探索，让学生通过小组讨论，同桌探讨等方式，总结出其中包含的知识内容，加深学生对知识的理解和对课本的透彻掌握.
在基础知识基本题目的练习中去寻找数学思想和方法，在平时中老师要注意提炼.
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