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二次函数解析式的确定
待定系数法
（1）一般式：
如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）、、，那么方程组就可以唯一确定、、，从而求得函数解析式．
温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．
（2）顶点式：
由于，所以当已知二次函数图像的顶点坐标时，就可以设二次函数形如，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线又称为二次函数图像的对称轴．
温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．
（3）交点式：
我们知道，，这里分别是方程的两根．当已知二次函数的图像与轴有交点（或者说方程有实根）时，就可以令函数解析式为，从而求得此函数的解析式．
温馨提示：已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
（4）对称式：
温馨提示：当抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
【例1】 已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
【巩固】已知一个二次函数过、、三点，求二次函数的解析式．
已知抛物线经过三点A（0，2），B（1，0），C（-2，3），求二次函数的解析式。
1.已知二次函数的图像过点A（0，-1）B（1，-1）C（2，3）求此二次函数解析式；
2.已知二次函数的图像过点A（1,-1）B（-1,7）C（2，1）求此二次函数解析式；
3.已知二次函数图像的顶点坐标为(-1,-8),图像与x轴的一个公共点A的横坐标为-3,
求这个函数解析式
(1)、图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点;
（2）、图像的顶点是（-2，3），且过点（-1，5）；
（3）、图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且顶点为（1，-9/2）；
已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．
求抛物线的解析式．
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次
函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与
y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．
已知抛物线经过A（2，3）点，且其顶点坐标为（－1，－6），求二次函数的解析式
【例2】 已知一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式．
【巩固】已知一抛物线的形状与的形状相同．它的对称轴为，它与轴的两交点之间的距
离为，则此抛物线的解析式为 ．
【例3】 已知二次函数过点，且顶点为，求函数解析式．
【巩固】已知抛物线有最小值，求抛物线的解析式．
【例4】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：
⑴ 二次函数的解析式；
⑵ 的值；
⑶ 该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标．
【巩固】已知二次函数的对称轴为，且经过点、，求二次函数的解析式．
【巩固】求符合下列条件的解析式：
⑴ 通过点；
⑵ 与的图象开口大小相同，方向相反；
⑶ 当自变量的值由增加到时，函数值减少.
确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的
一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜．
（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．
例1 已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．
因A、B、C三点在函数的图象上，
所以它们的坐标满足函数的解析式．
把A、B、C三点的坐标代入所设解析式，
（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．
例2 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．
解得a＝－2．
（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．
例3 已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．
思路启迪
由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．
规范解法 设二次函数的解析式为
再把点C（1，-3）的坐标代入，
得－3＝a（1－2）（1＋1），
点评
上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．
如例2中的抛物线顶点坐标为（2，3），可以列出两个方程，即
顶点的横坐标， ①
顶点的纵坐标， ②
再把点（3，1）的坐标代入，得9a+3b+c=1 ③
把方程①、②、③联立得方程组，解得
显然，选用一般式解决例2的问题比用顶点式麻烦得多．
因此，求二次函数的解析式，根据己知条件选取表达式是关键．
例4 已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．
思路启迪一
已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．
把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得
思路启迪二
由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．
思路启迪三
由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过两定点，可设解析式为一般式，
解这个方程组，得
思路启迪四
由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设解析式为交点式．
设二次函数的解析式为y＝a（x－1）（x－5）．
a（3－1）（3－5）＝－2，
思路启迪五
同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．
规范解法5 同解法4，求得点B（1，0）关于对称轴x＝3的对称点（5，0），设二次函数的解析式为
点评
例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．
注 本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．
29．如何利用“抛物线x轴交点间的距离”求二次函数的解析式？
已知抛物线与x轴两交点间的距离，求二次函数的解析式，一般有下列两种情况：
例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．
思路启迪
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）．
此时，可随意使用二次函数的一般式或交点式，得二次函数的解析式为
点评
同一个题目使用不同的方法求解后，应进一步比较分析它们的优缺点，才能不断提高解题水平，求得最简捷的解法．
30．怎样求二次函数的最大（小）值？
求二次函数的最大值和最小值的问题，有着广泛的应用．
求二次函数的最值，有下面三种方法：
（1）公式法．
由二次函数的图象看出，当a>0时，抛物线的开口向上，它的顶点在最低处．由此可得：当a>0且时，函数达到最小值，这个最小值就是抛物线顶点的纵坐标，即当a<0且时，函数达到最大值，这个最大值就是抛物线顶点的纵坐标，即
例1 求函数的最大值或最小值.
规范解法 由a=1>0知抛物线开口向上
故当
（2）配方法．
例2 求二次函数的最大值或最小值.
规范解法
∵
点评
利用公式法与配方法求二次函数的最值时，应根据具体情况，选用恰当的方法．
（3）判别式法．
所谓“判别式法”就是利用一元二次方程根的判别式来求二次函数的最值的方法．
例3 求函数的最大值或最小值.
例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?
思路启迪
商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的．
如果每件衬衫降价x元，则盈利为（40－x）元，则可多售出2x件衬衫，即每天可售出（20＋2x）件衬衫，从而可求出每天的利润．
由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数，所以可求出盈利的最大值，
规范解法 （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．
整理，得
即当降价10元或20元时，由于销售量不同，都可获利1200元．但“为了扩大销售”，“尽快减少库存”可降价20元，每天销售量将增加，符合题中要求．
（2）设商场平均每天盈利y元，则
即每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元．
答：若商场平均每天盈利1200元时，每件衬衫应降价10元或20元；每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元．
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