线段之及最小及最大问题.doc

二次函数之线段之和最小与最大问题
一、引例：
对于抛物线： y=x2-2x-3，顶点为P
（1）Y轴上是否存在一点N，使三角形NPB周长最小？有则求之。

（2）、Y轴上是否存在一点N，使NB-NP最大？有则求之。

3、 （2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

4、如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

（2012寒假作业第九份22题）
解：（1）点C（-2，6）在抛物线y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2（3分）
∴抛物线的函数解析式为y=-2（x+3）（x-1）
由题意得抛物线与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直线AC的函数解析式为y=-2x+2（6分）
（2）①设P的横坐标为m（-2≤m≤1），则M的横坐标是m．
P（m，-2m+2），M（m，-2m2-4m+6）（7分）
∴PM=-2m2-4m+6-（-2m+2）=-2m2-2m+4=∴当 时，PM的最大值为 （10分）
②存在
M1（0，6）、M2（ ， ）（14分）
本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．

5、（2011.深圳中考）如图13，抛物线的顶点为C（1，4），交轴于A、B两点。交轴于点D。其中点B的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F。其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴。点G为直线PQ上的一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图15。在抛物线上是否存在一点T，过点T作轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN//BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

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