资源描述
专题二——运动型问题
题型概述
运动型问题一般是指动态几何问题，它是以几何知识和图形为背景，研究几何图形(点、直线、三角形、四边形)在运动变化中存在的函数关系或规律，就其知识结构而言，是集几何、代数知识于一体的数形结合问题，几何方面涉及的知识有全等形、相似形、勾股定理、特殊四边形和圆；代数方面涉及的知识有方程、函数、不等式、坐标、解直角三角形等．其类型可归纳为：点的运动、直线的运动、图形的运动．其中图形的运动变化有利于发展学生的空间想象能力和综合分析能力．
【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.
运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).
1．点的运动问题
在三角形、特殊的四边形等一些图形上，有一个或几个动点，探究这些点在运动变化过程中伴随着的变化规律．对于此类问题，要注意用运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静．
2．线的运动问题
动线几何类试题是指研究直线或线段按指定的路径进行平移或旋转过程中的变化关系和变化规律的一类综合性较强的试题．解决此类试题的关键是“动中取静”，即抓住静的瞬间，把一般情形转化为特殊情形，抓住变化中的不变量，巧妙地利用各变量之间的关系建模解决问题．
3．图形的运动问题
图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变．三角形、四边形的运动是常见的一种题型．要善于运用各种数学思想把问题转化为动点和动线问题，结合多种知识，建立方程、不等式或函数模型解决.
【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。①动中觅静；②动静互化；③以静制动；④变动为静。
解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的。
线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示。
解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.
具体做法是：①全面阅读题目，了解运动方式与形式，全方位考查运动中的变量和图形之间的位置关系；②运用分类讨论思想，将运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；③在各类“静态图形”中，运用所学知识和方法(如方程、函数、相似)等进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应数学模型求解．
温馨提示：
当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常确立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.
真题剖析
类型一 点的运动
典例1 如图(1),AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP. (1)求△OPC的最大面积; (2)求∠OCP的最大度数;
(3)如图(2),延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.
(2)
(1)
【全解】 (1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.
在△OPC中,设OC边上的高为h,
∴当h最大时,S△OPC取得最大值.观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示:
此时h=半径=2,S△OPC=22=4.∴△OPC的最大面积为4.
(2)当PC与☉O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示: ∴∠OCP=30°.∴∠OCP的最大度数为30°.
(3)如图(3),连接AP,BP.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD.∵=,∴=.∴AP=BD.
∵CP=DB,∴AP=CP.∴∠A=∠C.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.
在△ODB与△BPC中,∴△ODB≌△BPC(SAS).∴∠D=∠BPC.
∵PD是直径,∴∠DBP=90°.∴∠D+∠BPD=90°.∴∠BPC+∠BPD=90°.
∴DP⊥PC.∵DP经过圆心,∴PC是☉O的切线.
【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则△OPC的面积最大;观察图形,当OP⊥OC时满足要求;
(2)PC与☉O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;
(3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是☉O的切线.
举一反三
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长.
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
(第1题)
【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.
类型二 线的运动
典例2如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
备用图
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;
(2)如图(2)所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;
(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.
【全解】 (1)当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图(1)所示.
(1)∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.
∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.
(2)如图(2)所示,由(1)知EF∥BC,
(2) (3)
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.
(3)存在.理由如下:
①若点E为直角顶点,如图(3)所示,此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,此比例式不成立,故此种情形不存在.
②若点F为直角顶点,如图(4)所示,此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.
∵PF∥AD,.
(4) (5)
③若点P为直角顶点,如图(5)所示.
过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD,
【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.
举一反三
2.如图,直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0<t<5)秒.
(1)证明:在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;
(2)当t取何值时,四边形ACDP为菱形?请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.
(第2题)
【小结】 这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.
类型三 面的运动
典例3如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:
(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.
(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.
(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.
【全解】 (1)如图(1),∵在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).∴OA=OB.∴∠OAB=45°.
∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OCE=60°.
∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°.∴∠BME=∠CMA=15°.
(2)如图(2),∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OBC=∠DEC=30°.∵OB=6,∴BC=4.
(3)①h≤2时,如图(3),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,且OE交AB于点k.
(1) (2)(3)
∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,∴CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM.∵△CMN∽△CED,
【技法梳理】 本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.
(1)如图(1),由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,所以欲求∠BME的度数,需求∠CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;
(2)如图(2),通过解直角△BOC来求BC的长度;
(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图(4),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC-S△EFM;②当h≥2时,如图(3),S=S△OBC.
举一反三
3.如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.
(1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;
(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图(2)),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?
【小结】 解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.
对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.
类型一
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t= 秒时,S1=2S2.
类型二
3.如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
4.在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为(20-20)cm.
(1)求AB的长.
(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置?若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置?并说明理由.
(第4题) (第5题)
类型三
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为( ). A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5
6.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图(1),DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图(2)中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
(2)在图(3)中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.
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