资源描述
课题：6.4.1数据的离散程度
教学目标：
1．了解刻画数据程度的三个量——极差、方差和标准差，并在具体情境中加以应用．
能借助计算器求相应的数值．
2．通过经历表示数据离散程度的几个量的探索，体会用样本估计总体的思想，感悟其实际运用价值，培养学生的合作意识和处理问题的能力．
3．经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念．
教学重点与难点：
重点：利用极差、标准差和方差解决实际问题．
难点：理解极差、方差和标准差的概念．
课前准备：计算器、多媒体课件．
教学过程:
一、 创设情境，引入新课
[师]：我们学校田径队准备选拔一名运动员参加中学生运动会，在激烈的竞争中，侯潇同学和赵伟强同学脱颖而出，下表是两位同学在8次百米跑训练中的成绩：
序数
1
2
3
4
5
6
7
8
侯潇的成绩/秒
12.0
12.2
13.0
12.6
13.1
12.5
12.4
12.2
赵伟强的成绩/秒
12.2
12.4
12.7
12.5
12.9
12.2
12.8
12.3
[师]：田径队李教练认真分析两个队员的成绩，做出了一个艰难的决定，你想知道李教练为什么决定这么艰难吗？首先请同学们完成下面的问题．
活动内容1：引例探究
1．请同学们根据上表信息完成下表：（ 多媒体展示）
序数
平均数
中位数
众数
侯潇
赵伟强
2．根据你所得到的信息分析两名运动员的成绩，你认为谁的成绩更好？你觉得李教练最终选择了哪名运动员呢？
处理方式：同桌之间分工合作完成两位同学的平均数、中位数以及众数的计算，然后小组交流后汇总比较．教师确定是否完全一致后再进行分析和比较成绩，为了给学生更好的直观感觉，教师绘制折现统计图给学生展示，帮助学生分析问题．让学生假设自己是李教练进行选择并说出选择的理由，小组交流完成，有的人会认为侯潇的成绩较好，因为侯潇超过13秒的较多，也有的会认为赵伟强的成绩较好，因为成绩比较稳定在平均数的周围，通过学生深入地探究让学生感受这几个量无法满足现实问题，从而引出本节课学习的内容．
（1）附统计图：根据上表中的数据完成下面的折线统计图
赵伟强成绩统计图
序数
成绩/秒
12.0
12.2
12.4
12.6
12.8
13.0
13.2
1
2
3
4
5
6
7
8
13.4
0
序数
成绩/秒
12.0
12.2
12.4
12.6
12.8
13.0
13.2
1
2
3
4
5
6
7
8
13.4
0
侯潇成绩统计图
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
（2）附答案：
序数
平均数
中位数
众数
侯潇
12.5
12.45
12.2
赵伟强
12.5
12.45
12.2
[师]：我们研究的平均数、中位数、众数都是刻画数据集中趋势的三个量，但有时仅有集中趋势还难以准确刻画一组数据，实际生活中，我们还常常关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离程度（多媒体展示）本节课我们来探讨它．（板书课题）
设计意图：通过两个层次的问题的精心设计，既复习了上节课所学习了的知识，又引导学生有目的地进行思考和探究，让学生充分感受只有那些量是不能完全地对数据进行处理的，刻画数据离散程度的量的引入就成了必然．
二、合作探究，展示汇报
活动内容2：规范引领
[师]：刚才同学们用观察的方法判断了数据的离散程度，我们来考虑将我们所观察的用什么具体的数值来清晰地表示呢？
处理方式：小组交流探讨后，找小组代表回答．绝大对数同学应该会很容易就会想到用最大值和最小值的差，之后确定极差是刻画数据偏离程度的一个统计量．极差引入后肯定有些同学会疏忽单位的问题，一定要强调极差的单位与原单位相同．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．（教师板书）
设计意图：延续原来的教学情境，顺利引入研究数据的其它量：极差．这样，既能吸引了学生的注意力，又激发了学生的求知欲，也能让学生感受生活离不开数学．
三、 巩固提高，再探新知
活动内容3：巩固应用
[师]：利用你所学到的知识解决下面问题．
某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，他们的价格相同，
鸡腿品质相近． 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿的质量（单位：g）如下：（ 多媒体展示）
甲厂
75
74
74
76
73
76
75
77
77
74
74
75
75
76
73
76
73
78
77
72
乙厂
75
78
72
77
74
75
73
79
72
75
80
71
76
77
73
78
71
76
73
75
把这些数据表示成如图所示：
（1） 从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是什么？在图中画出纵坐标等于平均质量的直线？
（2） 如果只考虑鸡腿的价格，你认为外贸公司应该买那个厂家的鸡腿？
处理方式：多媒体展示甲乙两厂的鸡腿问题，要求学生同桌之间分工完成平均质量的计算，然后小组交流后汇总，学生也可以参考课本图形完成老师提问，学生很容易就可以利用极差解决题目中的问题．如果学生画出纵坐标等于平均质量的直线后，在分析过程中可能会出现它们的值谁的更集中在平均数的周围这样的想法，这时可以提醒学生将所有数据都和平均数比较差距并取其绝对值，并引导学生明确74克的鸡腿和76克的鸡腿的偏离程度是相同的，涉及平均差的概念，平均差是刻画数据偏离程度的一个统计量．平均差即各个数据与平均数之差的绝对值的平均数．（平均差的概念可以看学生能力决定，也可以不涉及）
设计意图：通过又一个实际情景和图示，让学生更直观地估计两厂抽取的20只鸡腿的平均质量；更进一步地让学生体会两组数据的平均数相近时，它们的离散程度未必相同．
活动内容4：再探新知
[师]：市场竞争是激烈的，如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样的20只鸡腿如图所示：
在甲和丙两个厂家中，你认为哪个厂的鸡腿更符合要求呢？（ 多媒体展示）
（1）丙厂的这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲厂和丙厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距．
（3）在甲和丙两个厂家中，你认为哪个厂的鸡腿更符合要求呢？（ 多媒体展示）
处理方式：将两个厂家的数据用一个统计图展示给学生以直观，如果之前没有提及平均差的话，就让同桌之间按顺序分工完成题目中的甲厂和丙厂的问题，得出（1）数值后汇总就容易发现了极差所不能解决的这个实际问题，在解决问题（2）的时候，学生找差距容易带有符号，这时应提出探讨74克和76克的鸡腿的偏离程度是否是一样的，因此提出用鸡腿质量和平均数的差的绝对值来刻画，可以将它们求和也可以将它们求平均数（即平均差）．问题（3）的处理可以借助图像直观得出结论也可以用求和或者求平均的方法解决．如果前面已经提及平均差的话就可以让学生自主分析选择哪一个更符合要求．
[师]：我们探讨了用极差（和平均差）来表示数据的离散程度，数据的离散程度还可以用方差或者标准差来刻画．请同学们阅读课本150页，并思考计算一组数据的方差的步骤．
处理方式：阅读时间两分钟，学生独立完成阅读后小组方差的计算步骤，教师强调：：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］，其中是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差，而标准差(S)就是方差的算术平方根．一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．小组研究较简单的记忆方法，交流出结论后让小组代表概括，如果小组代表的语言不够严谨，教师可引导学生完成，可以简单地记作：先平均，后求差，平方后，再平均．（教师板书黑体部分）
完成交流后独立计算丙厂的方差和甲厂比较．等待学生完成后教师强调：（1）极差和标准差的单位和原单位一致；（2）方差的单位应该为原单位的平方，但是不具有什么实际意义，一般都省略不写．（3）计算器不具有求方差的功能，可以先求出标准差，再平方即可求出方差．
设计意图：在前面的问题情境中，极差很容易比较出两个厂家的鸡腿的离散程度．在这里增加一个丙厂，目的是通过与前两个厂的对比，发现仅有极差刻画数据的离散程度是不够的从而引出其他量．设计丙厂的数据时，和课本比较有了一个数据的改动，目的是让甲和丙的平均数和极差都完全相同，给学生离散程度的比较制造更大的难度，能够更大程度地激起学生的求知欲和探索交流的欲望，也为方差和标准差的呈现做好充分的准备．同时使学生在实际问题的解决过程中认识到离散程度的意义和影响，形成一定的数据意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．
[师]：看来方差的计算比极差的计算麻烦多了，使用计算器可以很方便地帮助我们计算方差．大家利用课余时间自学课本151页，计算后与课本比较是否正确．
四、应用举例、概念加深
活动内容5：规范应用
[师]：掌握了刻画数据离散程度的几种方法，让我们一起来帮助农民伯伯做判断吧！
农民伯伯为了比较甲、乙两种棉花结桃情况，任意抽取每种棉花各10棵，统计它们结桃数的情况如下：（ 多媒体展示）
甲种棉花 84，79，81，84，85，82，83，86，87，89；
乙种棉花 86，85，90，80，82，92，80，77，83，85.
请你对这两组数据进行分析比较，看看能获得什么结论？
处理方式：两位学生到黑板板演，其他学生自主完成，两位同学的方法不一定完全不同，教师可以做一些引导，以便达到更好的示范效果．
附答案：
解：甲＝（84＋79＋81＋84＋85＋82＋83＋86＋87＋89）＝84（分）
乙＝（86＋85＋90＋80＋82＋92＋80＋77＋83＋85）＝84（分）
s2甲=［（84－84）2＋（79－84）2＋（81－84）2＋（84－84）2＋（85－84）2＋（82－84）2＋（83－84）2＋（86－84）2＋（87－84）2＋（89－84）2］＝7.8
s2乙=［（86－84）2＋（85－84）2＋（90－84）2＋（80－84）2＋（82－84）2＋（92－84）2＋（80－84）2＋（77－84）2＋（83－84）2＋（85－84）2］＝19.2
因为 7.8＜19.2，所以甲种棉花更稳定．
设计意图：尽情体会不同的方法刻画数据的离散程度，并在观察比较中获得最简单的方法；另一个目的是规范学生的解题过程，尤其是方差的计算．
五、归纳小结、反思提高
[师]：通过今天学习和探讨，你有哪些收获，请大家各自总结一下，然后共同分享！
处理方式：学生归纳总结，教师补充升华.
设计意图：教给学生反思的方法，注重学生知识的掌握和探究过程的完成情况．引导学生小结本节知识及学习活动，让学生畅所欲言，相互进行补充,能用自己的话对本节课的重点内容进行归纳总结；养成学习—总结—再学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力．
[师]下面我们利用大家归纳的知识和方法进行自我评价完成过关检测习题，比一比，看一看，谁能领先.
六、分层达标，反馈矫正
A组：基础达标题（ 多媒体展示）
1.数据 1 ，2 ，3，x的极差是 6 ，则x =________.
2.若一组数据的方差为0.16，那么这组数据的标准差为________.
3.对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x(单位：m)进行测量，算出甲＝ 0.95，s2甲＝1.01， 乙＝ 0.95，s2乙＝1.35，于是可估计株高较整齐的小麦品种是________.
B组：能力挑战题（ 多媒体展示）
4. 甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0
请你评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
处理方式：学生做题的时候教师巡视，监督学生独立完成，但尽量少指导，因为会影响学生独立思考和做题的进度．学生做完后教师及时批改，初步了解掌握学生解题情况．
七、作业分层，各显其能
必做题：课本151页和152页．
选做题：
1．已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15．
（1）求这三组数据的平均数、方差和标准差．
（2）对照结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
（3）请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y标准差为Z．则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为，方差为，标准差为．
②数据3a1，3a2，3a3，…，3an的平均数为，方差为，标准差为．
③数据2a1－3，2a2－3，2a3－3 ，…，2an－3的平均数为，方差为，标准差为．
结束语：
在数学的天地里重要不是我们知道了什么，而是我们怎么知道什么！
——毕达哥拉斯
板书设计
6.4 数据的离散程度
1． 极差
2．平均差
3．方差
4．标准差
多媒体展示区：
方差计算公式：
学生演示区：
学生演示：
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
