资源描述
仰角、俯角与解直角三角形
典案一 教学设计
课题
第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．
数学思考
结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经验．
问题解决
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．
情感态度
运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学用数学的思想．
教学
重点
利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．
教学
难点
把实际问题转化为数学模型．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.解直角三角形的主要依据是什么？
2．解直角三角形主要有哪两种类型？
[答案]1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.
2．(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角.
回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少(地球半径约为6400 km, π取3.142，结果取整数)?
图28－2－37
通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.解决问题：
师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.
分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数.
2.仰角、俯角的应用：
例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)？
仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.
如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38
在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.
设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39
分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，则AF＝(x－20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.
例1主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力.
【拓展提升】
例2 如图28－2－40，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测得点A的仰角为30°.已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40
[答案](10 ＋11.5)米
例2主要是通过两次解直角三角形建立一元一次方程，通过解方程，求出相应的线段，从而解决求建筑物高的问题.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.如图28－2－41，在水平地面上，由点A测得旗杆BC的顶点C的仰角为60°，点A到旗杆底部的距离AB＝12米，则旗杆的高度为(C)
A.6 米 B．6米 C．12 米 D．12米
图28－2－41 图28－2－42
2.如图28－2－42，AB，CD两教学楼相距30米，某学生在教室窗台口B处测得CD楼楼顶C处的仰角为30°，楼底D处的俯角为45°，则教学楼CD的高度为(A)
A.米 B.米
C.45米 D．5米
3.某飞机的飞行高度为1500米，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与地面控制点的距离为__1000__米.
4.如图28－2－43，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，观测到旗杆顶部A的仰角为60°，底部B的仰角为45°，小明的眼睛E与地面的距离EF为1.6 m．
(1)求建筑物BC的高度；
(2)求旗杆AB的高度.
(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图28－2－43
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
请同学们回顾以下问题：
(1)什么是仰角和俯角？
(2)在解答实际问题的过程中，你学会了哪些解题技巧或方法？还有哪些疑惑？
2.布置作业：教材第76页练习第1，2题.
通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理和内化，同时明确学习重点.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本课时在引入新课时应用了学生感兴趣的航天知识，提出了本节课要用到的仰角、俯角，并对这两种角作了简单的描述，学生应用时应该是水到渠成的效果.
②[讲授效果反思]
应用仰角、俯角解决解直角三角形的问题是本节课的重点，比较基础，希望师生共同了解仰角、俯角的初步应用．建议每道例题学生先做，然后教师再用多媒体展示答案，突出学生的主体地位和教师的主导作用.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
(1)进一步掌握解直角三角形的方法；
(2)比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
2．解决问题
(1)通过学习懂得仰角、俯角的意义，学会把实际问题转化为数学模型，发展学生的抽象思维能力；
(2)在研究有关仰角、俯角的问题的过程中，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想．
3．数学思考
通过解决与仰角、俯角有关的实际问题，发展学生的应用意识．
4．情感态度
(1)在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养生活中应用数学的意识；
(2)通过一系列探究活动，培养与他人合作、交流的意识和探究精神．
【学习重难点】
1．重点：(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形；
(2)能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．
2．难点：(1)把实际问题转化为数学问题的能力的培养；
(2)灵活应用解直角三角形的知识及仰角、俯角等知识解决实际问题．
课前延伸
【知识梳理】
1．解直角三角形是指：__由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程__．
2．解直角三角形主要依据什么？
自主学习记录卡
1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？
2．你有哪些问题要提交小组讨论？
课内探究
一、课堂探究1(问题探究，自主学习)
如图28－2－44，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆33米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，求旗杆AB的高(精确到0.1米)．
图28－2－44
二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)
例1 如图28－2－45，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？
图28－2－45 图28－2－46
例2 如图28－2－46, 在上海的黄浦江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄浦江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退340 m到点A测得塔尖D的仰角为30°.设塔底C与A，B在同一直线上，试求该塔的高度(结果保留根号 )．
三、反馈训练
1．从1.5 m高的测量仪上，测得某建筑物顶端的仰角为30°，测量仪距建筑物60 m，则该建筑物的高大约为( B )
A．34.65 m B．36.14 m C．28.28 m D．29.78 m
2．如图28－2－47，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角a＝30°.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为42 .64 m，当时水位为＋2 .14 m，求观察所A到船只B的水平距离BC＝________(精确到1 m)．
图28－2－47
3．在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底D测得点A的俯角β＝45°.已知塔高BD＝30米，求山高CD(结果保留根号 )．
图28－2－48
课后提升
如图28－2－49，测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度，在地面上一点B处测得楼顶A的仰角为30°，前进15米到点D，测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC为15米，求天线AE的高度．
图28－2－49
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