资源描述
坡度、方位角与解直角三角形
典案一 教学设计
课题
第2课时 坡度、方位角与解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.了解方位角的命名特点，学会解决方位角的相关问题；
2.理解坡度、坡角等概念，能用锐角三角函数知识解决坡度的相关问题．
数学思考
经历把实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会锐角三角函数在解决实际问题的过程中的作用．
问题解决
使学生会把实际问题转化为解直角三角形的问题，从而会把实际问题转化为数学问题．
情感态度
进一步提高学生数形结合、分析问题以及解决问题的能力和应用数学知识的意识，树立理论来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点．
教学
重点
利用方位角的相关知识，借助锐角三角函数解决航海等实际问题．
教学
难点
把实际问题转化为数学问题；直角三角形解法的灵活应用．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
展示问题：
1.什么是仰角和俯角？
2.在解答关于仰角和俯角的实际问题时，最关键的问题是什么？
回顾上节课内容，为本节课的教学做好准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
如图28－2－80，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 °方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34° 方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)？ 图28－2－80
通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.关于方位角问题的探究：
师生活动：教师引导学生将活动一中的问题转化为数学问题，注意解释方位角的概念，引导学生画出示意图.
方位角：首先确定好基准点，然后在基准点做好坐标，规定以南北方向为始边，左右旋转即可得到方位角.
通过分析图形，教师引导学生板书解题过程.
PC＝PA·cos25°＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，PB＝≈≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
2.关于坡度问题的探究：
问题：如图28－2－81所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度较大？你是根据什么来进行判断说明的呢？
图28－2－81 图28－2－82
教师讲解：如图28－2－82，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
3.总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程：
师生活动：师生共同总结过程，学生进行口述，教师引导.
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
1.例题是从实际中抽象出来的题目，教师可帮助学生回忆方位角等相关概念，教师要引导学生找准基准点，从而确定位置.
2.通过问题的设置，让学生增强应用数学的意识，渗透理论联系实际的观点.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图28－2－83，一艘渔船由西往东航行，在点A测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达点B，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，请问海岛C到航线AB的距离CD为多少海里？ 图28－2－83
师生活动：学生在教师问题的引导下，首先读图，把实际问题抽象为数学问题，学生找出所有未知元素，逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例2 如图28－2－84，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732).
图28－2－84
通过不同类型的两道例题，既巩固了本课时所学的主要内容，又让学生体验到数学来源于生活，又服务于生活.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.拦水坝横断面如图28－2－85所示，迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是(D)
A.15 m B．20 m C．10 m D．20 m
2.小强沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降了(A)
A.1米 B.米 C．2 米 D.米
图28－2－85 图28－2－86 图28－2－87
3.如图28－2－86，机器人从点A出发，沿着西南方向行了4 米到达点B，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°方向上，则OA＝____米.
4.如图28－2－87，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进方向和速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇，假设乙船的速度和航行方向保持不变，求：
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲轮船后来的速度.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
请同学们回顾以下问题：
(1)解答方位角问题要注意哪些？
(2)什么是坡度、坡角？它们之间存在什么关系？
2.布置作业：教材第77页练习第1，2题.
通过问题的形式回顾所学基本知识，能够使学生获得知识的整体轮廓.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．教师在引入新课时可借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上.
②[讲授效果反思]
新课进行中主要是两个环节：一是师生共同探究简单的坡角、坡长和坡高之间的关系；二是以近年的中考题为例展示解直角三角形的应用在考试中的考查方式，使学生对这类问题有比较全面的认识.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题．
2．解决问题
(1)通过学习懂得坡比、坡角的意义，把实际问题转化为数学模型；
(2)在研究有关坡比、坡角的问题的过程中，渗透数形结合的数学思想．
3．数学思考
(1)通过解决与坡比、坡角有关的实际问题为背景，发展应用意识；
(2)经历解决实际问题的过程，掌握把实际问题转化为数学问题的能力．
4．情感态度
(1)经历由情境引出问题，经历先掌握数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；
(2)体会数形结合的数学思想方法；
(3)培养自主探索的精神，提高合作交流的能力．
【学习重难点】
1．重点：与坡度、坡角有关的实际问题．
2.难点：把实际问题转化为数学问题．
课前延伸
【知识梳理】
1．三角形中共有几个元素？
2．在△ABC中，∠C＝90° a＝， b＝3，解这个直角三角形．
自主学习记录卡
1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？
2．你有哪些问题要提交小组讨论？
课内探究
一、课堂探究1(问题探究，自主学习)
如图28－2－88，水库的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高12 m，斜坡CD的坡度i′＝1∶1，斜坡AB坡度i∶，求斜坡AB的长及坡角α和坝底宽AD(精确到0.1 m)．
图28－2－88
二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)
1．如图28－2－89，一段路基的横断面是梯形，高CD为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽AB(精确到0.1米)．
图28－2－89
三、反馈训练
1．某人在斜坡上走了8米，高度上升了1米，则坡比i＝__1∶__.
2．如果斜坡的坡度i＝1∶2，坡面铅垂高度为4米，那么斜坡的长是 __4__ 米．
3．如图28－2－90所示，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶AD宽10米，坝高AE为160米，坝的迎水坡的坡度是i1＝1∶3，背水坡的坡度i2＝2∶3.求水坝横截面的面积。
图28－2－90
课后提升
如图28－2－91，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽为5 m，坝高CE为20 m，斜坡AC的坡度为1∶，斜坡DB的坡度为5∶6.建造这样的大坝1000 m需要多少立方米的土(结果保留根号)?
图28－2－91
第2课时 方位角
【学习目标】
1．巩固解直角三角形的三角函数有关知识，学会解决方位角问题．
2．渗透数形结合的数学思想和方法．
3．通过把实际问题转化为解直角三角形的问题，发展学生的应用意识．
4．会把实际问题转化为解直角三角形的问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【学习重难点】
1. 重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2. 难点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【学习设计】
课前延伸
一、基础扫描
(1)特殊角的三角函数值
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
(2)在△ABC中，∠C＝90° ，a＝2 .b＝6解这个直角三角形．
(3)如图28－2－92河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进15米到达D处(B，D，C在同一直线上)，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．
图28－2－92
(4)方位角如何表示？请表示出“正东方向”“东北方向” “北偏东60°”和“南偏西37°”．
二、合作探究
1．问题1：如图28－2－93，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°的方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果保留小数点后一位)?
图28－2－93
2．问题2：如图28－2－94，某海防哨所(O)发现在它的北偏西30°距离为500 m的A处有一艘船．该船向正东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B处．求这艘船的航速(取1.7)．
图28－2－94
三、应用提高
问题3：“村村通路工程”加快了某县建设社会主义新农村的步伐，如图28－2－95，C村村民们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连．在公路A处测得C村在东北方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向．
(1)为了节约资源，要求所修公路长度最短，试求符合条件的公路长度(结果保留整数)；
(2)经预算，修建1000米这样的水泥公路约需要人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币15万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．
图28－2－95
四、总结反思，体验升华
五、反馈训练
(1)如图28－2－96，一艘船在点A处测得岛C在东北方向，且测得AC之间的距离为10海里．已知在C岛四周6海里范围内有暗礁．若该船从点A处沿正东方向航行，则途中会有触礁的危险吗？
图28－2－96
(2)如图28－2－97，一艘轮船以每小时20海里的速度向正东方向航行，上午8时位于A处，这时灯塔S在船的东北方向上；上午9时30分，船行至B处，这时灯塔S在船的北偏东30°方向上．若船继续航行，问船在哪一点离灯的塔距的离最近？并求出最短距离．
图28－2－97
课后提升
练习1：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时刻？
练习2：如图28－2－98，MN表示一高速公路的设计路线图，在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向上；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心、500米为半径的圆形区域为某居民区，已知MB＝400米，请通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否穿过居民区？
图28－2－98
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