资源描述
相似三角形判定定理
典案一 教学设计
课题
第3课时 相似三角形判定定理3
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.掌握“两角分别相等的两个三角形相似”，并能应用其解决相关问题；
2.能够理解直角三角形相似的特殊的判定方法的推导过程及其应用．
数学思考
类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定方法，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．
问题解决
掌握相似三角形的判定定理，并能运用判定进行有关的证明和计算，发展应用意识．
情感态度
通过观察、归纳、测量、试验、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣，让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力．
教学
重点
掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．
教学
难点
相似三角形判定方法的推导及应用．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
请回答下列问题：
1.我们学习过相似三角形的哪些判定方法？
2.类比全等三角形的判定方法，猜想还会有怎样的方法判定两个三角形相似呢？
采用类比的方法思考问题，降低知识难度，鼓励学生猜想，为学新知做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
观察猜想：学生观察自己手中的直角三角尺，与教师的直角三角板相对照，找形状相同的一组，判断两个直角三角形是否相似.
问题：两个三角形相似是由什么条件得到的呢？
图27－2－117
师生活动：学生将直观印象表达出来，再进行思考，得到：三个角分别相等的两个三角形相似，从而可简化为两个角分别相等即可.
通过身边的实际问题引导学生思考、猜想，为探究新知指明了方向.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究三角形相似的判定方法：
展示问题：如图27－2－118所示，在△ABC与△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，试猜想：△ABC与△A′B′C′是否相似？并证明你的结论.
图27－2－118
师生活动：教师引导学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜想两个三角形相似．根据题设条件，需要构造出符合定理条件的图形：在△ABC中，作BC的平行线，且在△ABC中截得的三角形与△A′B′C′又有着非常紧密的联系(全等)，共同分析，完成证明，学生书写证明过程.
图27－2－119
证明：如图27－2－119，在△ABC 的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有 △ADE∽△ABC.
∵∠ADE＝∠B, ∠B＝∠B′，∴ ∠ADE＝∠B′.
又∵∠A＝∠A′，AD＝A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
得出结论：
判定定理：两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示这个定理：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2.探究直角三角形相似的判定方法：
问题：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
图27－2－120
师生总结：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
在证明相似三角形的判定定理时，方法十分特别，学生理解和应用均会产生困难，教师在引导中解析，在解析中总结，学生易于接受，易于理解，能够把握判定定理的证明过程.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图27－2－121，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长度.
图27－2－121 图27－2－122
例2 如图27－2－122，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE，若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
例题的设置让学生巩固了相似三角形的判定定理，并利用三角形相似求边长.
【拓展提升】
例3 上海模拟如图27－2－123，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，给出下列条件：①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD·AC；③AD·BC＝AB·BD；④AB·BC＝AC·BD.其中单独能够判定△ABD∽△ACB的有( B ) 图27－2－123
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
此题是“共角型”相似三角形的典型例题，旨在让学生观察认识图形，再结合相似三角形的判定定理判定相似.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.如图27－2－124，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是(C)
A.∠B＝∠D B．∠C＝∠AED
C.AB∶AD＝DE∶BC D．AB∶AD＝AC∶AE
图27－2－124 图27－2－125
2.如图27－2－125，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是(B)
A.△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C.△ABD∽△ACD D．以上都不对
3.如图27－2－126，在△ABC中，D为AB边上一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为__∠ADE＝∠C(答案不唯一)__.
图27－2－126
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
4.如图27－2－127，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是__①②③__(只填序号即可).
图27－2－127 图27－2－128
5.如图27－2－128，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB＝PC·PD.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
活动
四：
课堂
总结
反思
1.课堂总结：
(1)到现在，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？(师生总结)
(2)判定直角三角形相似时，应该采用什么方法呢？
(3)通过本节课的学习，你能自主探索两个等腰三角形相似的特殊的判定方法吗？
2.布置作业：
教材第43页习题27.2第7，13题.
注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本课采用学生熟悉的三角板水到渠成地得到相似三角形的判定．整个过程易于让学生接受，并能调动学生课堂学习的积极性.
②[讲授效果反思]
本课补充直角三角形相似的判定方法，加强学生对特殊的三角形相似的判定方法的深入学习，本课结束后，让学生再自主探索等腰三角形相似的判定方法，为以后相似三角形的综合应用奠定基础.
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，主要体现了探究性学习、合作性学习、体验性学习，实现了学习方式的多样化.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
典案二 导学设计
【学习目标】
知识技能
掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．
解决问题
类比三角形全等的条件，经历探索三角形相似的判定定理的过程，加深对定理的理解，通过例题及练习达到对定理巩固的目的．
情感、态度
与价值观
经历探索三角形相似的判定定理的过程，培养观察、比较、归纳能力；
经历从试验探究到归纳证明的过程，发展合情推理能力.
【学习重难点】
重点
会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似.
难点
“两角分别相等的两个三角形相似”的发现、证明及其在不同背景下的灵活应用.
课前延伸
【知识梳理】
1．若△ABC各边分别为AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DEF的两边分别为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝__3__ cm时，△ABC∽△DEF.
2．如图27－2－129，要使△ABC∽△BDC，必须具备的条件是( C )
图27－2－129
A．BC∶CD＝AC∶AB B．BD∶CD＝AB∶AC
C. BC2＝AC·CD D. BD2＝CD·AD
课内探究
【探究1 】
如图27－2－130，在△ABC中，点D在AB边上，如果∠ACD＝∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？
图27－2－130
【训练1 】
判断题：
(1) 所有的正三角形都相似．( √ )
(2) 两个等腰直角三角形是相似三角形．( √ )
(3) 两个直角三角形一定是相似三角形．( × )
(4) 底角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ )
(5) 顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ )
(6) 两个等腰三角形只要有一个角相等就相似．( × )
【探究2 】
如图27－2－131，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA•PB＝PC•PD.
图27－2－131
【训练2 】
已知：如图27－2－132，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE.
【探究3 】
如图27－2－133，在△ABC中，高BD，CE相交于点H.
求证：(1)＝；(2)△ADE∽△ABC.
图27－2－132 图27－2－133 图27－2－134 图27－2－135
【训练3 】
已知：如图27－2－134，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD.
【探究4 】
已知：如图27－2－135，AD为△ABC (AB＞AC) 的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E.求证：ED2＝EC·EB .
【训练4 】
如图27－2－136，△ABC为正三角形，D，E分别是边AC，BC上的点(不在顶点)，∠BDE＝60°.
图27－2－136
(1) 求证：△DEC∽△BDA；
(2) 若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数解析式．
课后提升
1．填空(填“不一定”或“一定” )：
(1)两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形__不一定__相似；
(2)如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形__一定__相似．
2．如图27－2－137，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形有( C )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
图27－2－137 图27－2－138
3．如图27－2－138，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.
4．已知：如图27－2－139，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.若AB＝4，AD＝5，AE＝6，求DF的长．
图27－2－139 图27－2－140
5．已知：如图27－2－140，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝AD·BD；
(2)若AD＝2，DB＝8，求CD的长．
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