八年级数学上册《一次函数的图像》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
一次函数的图像
（新授课）
【理论支持】
数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，且每个学生有各自的不同的“数学现实”，数学教育的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取知识和方法的思维过程．基于本节课的特点：应着重采用数形结合的教学方法，以及由特殊到一般的方法、类比法，还有多媒体课件应用于课堂，增强知识的直观性，增强课堂内容．
我们常说：“没有学不好的学生，只有不会教的老师”，因而在教学中要特别重视学法的指导．初步培养学生用事物相互联系和发展变化的观点来分析问题，从而认识事物之间是相互联系和有规律地变化着的．培养学生的画图能力，主要是培养学生的看图、识图能力．培养思维能力，主要是学会根据概念的直观表象，归纳得出概念的性质，由特殊到一般，由简单到复杂，运用类比、归纳、数形结合等方法，培养学生分析问题、解决问题的能力．从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展．但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的关注或表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性．
教学对象分析：
1．初二学生从心理特征来说，逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展．但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的关注或表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性．
2．初二学生的概括能力较弱，推理能力还有待发展，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知．
3．八年级的学生对身边的事物充满了好奇，对一些自认为可行却有可能碰壁的问题充满了探求的欲望．他们非常乐意动手操作，有很强的好胜心和表现欲，同时学生也具备了一定的归纳总结表达的能力，基本上能在教师的引导下就某一个主题展开讨论．
总之，函数是数学中重要的基本概念之一，也是初中数学的重要内容之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．既是学生函数的入门，也是进一步学习的基础．作为本节内容，一方面，这是在学习了《变量与函数》、《函数的图像》的基础上，对函数意义的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习《一次函数的性质》等知识奠定了基础，是进一步研究现实世界中数量关系的工具性内容．鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．

知识技能
（1）了解一次函数图像的意义．
（2）会画一次函数的图像．
（3）会求一次函数的图像与坐标轴的交点．
（4）理解一次函数的解析式与图象之间的对应关系．
数学思考
（1）学会通过观察、分析函数图象来获取相关信息；
（2）结合实例培养学生数形结合的思想和读图能力．
解决问题
经历一次函数图像画法的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用图像及数形结合的思想解决相关函数问题．
情感态度
：（1）在 （1）动手操作过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的好品质．
（2）体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图像的简洁美．激发学生学数学的兴趣.
【教学目标】
【教学重点】能熟练地作出一次函数的图象，理解一次函数的解析式与图象之间的对应关系．
【教学难点】理解一次函数的解析式与图象之间的对应关系，即坐标满足一次函数解析式的点在直线上，图像上的点的坐标满足一次函数解析式．
【课时安排】一课时
【教学设计】
课前延伸
一、填空
1．在一个变化过程中，我们称数值____________的量为变量；在一个变化过程中，我们称数值____________的量为常量．
2．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是_________，y是x的________．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的___________．
３．把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的______和______，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的______．
4．作函数图象的一般步骤为______，______，______；一次函数的图象是一条______．
5．直线y＝3－x与x轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______．
6．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？
（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0　　　　（3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0
〖答案〗1．发生变化的量；是始终不变
2．发生变化的量；是始终不变．
3．横坐标；纵坐标；图像．
4．．列表；描点；连线．
5．（3，0）；（0，3）
6．（1）一、二、三 （2）一、三 、四 （3）一、二、四 （4）二、三、四．
〖设计说明〗认真观察和思考，发现千变万化的数学规律；是学好数学的关键．为了描述千变万化的世界中的变化中的数量关系，总结得出一个重要的工具——函数．数形结合是一种重要的数学思想．
二、预习思考题及答案
1．设置故事情节：小兔子输掉了比赛，非常不服气，于是就邀请乌龟进行第二次比赛，为了证明自己的实力，兔子决定让乌龟先跑200米 （如下图）．
（到底谁会赢？让学生带着问题进入本节课的学习）
350
t(分)
S(米)
0
200
起点

〖答案〗兔子先到
2．在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．
（1）y=x-1 y=x y=x+1
（2）y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1
〖答案〗

b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）．
当b>0时，交点在原点上方．
当b=0时，交点即原点．
〖设计说明〗引导学生解决如何从函数的图象中解读函数图象信息，体会学好一次函数的重要性，认识到数形结合的重要性．

课内探究
一、导入新课
我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用图像血流量与时间的关系．有的能用关系式表示，例如表示汽车余油量与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．
〖设计说明〗初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的这一问题情境较生动活泼，来源于学生的生活，学生有深切的体会，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的．
二、探索新知
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．
假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y=2，则我们可在直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给x的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合．
请同学们作出y=2x的图象，探索一下，能得出什么结论？
〖答案〗是一条过原点的直线．
〖设计说明〗y=2x是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．通过正比例函数的图像来探索一次函数的图像及性质．
三、检查预习情况，明确检查方法
　学生回答后论证
四、布置学生自学：
1．学生自主探究题：
（1）作出一次函数y=2x+1的图象．
〖点拨方法〗
列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x+1
…

-

…
② 描点 （在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的点）；
连线（用平滑曲线连接这些点）.

④ 由图观察一次函数的图像是一条 ．函数经过点（0， ），它的图像从左向右 （填上升或下降），即随着的增大，的值 ．
（2）归纳：一次函数的图象是一条 ，一条直线最少可由 点确定，
所以画正比例函数的图象只要 点就够了．
〖参考答案〗
列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x+1
…
-3
-1
1
3
5
…
描点 （在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的点）；
连线（用平滑曲线连接这些点）

由图观察一次函数的图像是一条 直线 ．函数经过点（0， 1 ），它的图像从左向右上升（填上升或下降），即随着的增大，的值增大．
归纳：一次函数的图象是一条 直线 ，一条直线最少可由 2 点确定，所以画一次函数的图象只要 2 点就够了．

(3)如果把y=2x+1换成y=-2x+1，还会有相同的性质吗？
〖点拨方法〗用同样的方法去研究
〖参考答案〗
由图观察一次函数的图像是一条 直 线 ．函数经过点（0， 1 ），它的图像从左向 右下降 （填上升或下降），即随着的增大，的值 减小 ．
一次函数的图象是一条 直线 ，一条直线最少可由 2 点确定，所以画一次函数的图象只要 2 点就够了．

（4）将y=-2x+1换成y=kx+b，k<0，还有相同的性质吗？
由此你发现了什么规律？
一次函数y=kx+b(k≠0)，当k<0时，函数值随自变量的增大而减少．
综合：一次函数y=kx+b(k≠0)， 当k>0时，函数值随自变量的增大而增大． 当k<0时，函数值随自变量的增大而减少．
这个规律是从解析式和图像上发现的，我们能不能对这个结论说明道理呢？（引导学生完成证明过程）
设x取的值分别为x1，x2时，对应的函数值为y1，y2，则
y2－y1=（k x2+b）－（k x1+b）=k(x2－x1) ①
设x2>x1，则x2－x1>0．
当k>0时，由①式得，y2－y1>0，因此y2>y1．这表明x的值增加时，对应的函数值也增大．
当k<0时，由①式得，y2－y1<0，因此y2<y1．这表明x的值增加时，对应的函数值反而减小．
2．小组合作探究题：
(1)已知函数y=(m-3)x-．回答下列问题：
①当m取何值时，y随x的增大而增大?
②当m取何值时，y随x的增大而减小?
〖点拨方法〗一次函数的增减性由自变量前的系数决定．
〖参考答案〗解 ①当m-3>0，即m>3时，y随x的增大而增大；
当m-3<0，即m<3时，y随x的增大而减小．
（2）①在同一坐标系内作出正比例函数y=x，y=x，y=3x，y=－2x的图象．
观察所画图象，直线y=x，y=x，y=3x中，哪一个与x轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x轴正方向所成的锐角最小？
一次函数y=kx+b的图象有何的特点？
〖点拨方法〗通过列表、描点、连线正确作出图像．
〖参考答案〗
①如图

由此可以得出正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的一条直线．
观察上图，直线y=x，y=x，y=3x中， y=3x与x轴正方向所成的锐角最大，y=x与x轴正方向所成的锐角最小．
一次函数y=kx+b的图象有如下特点．
(1)在一次函数y=kx+b图象中
当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
(2)一次函数y=kx+b的图象不过原点，和两坐标轴相交．
(3)在作一次函数y=kx+b的图象时，需要描两个点，一般描(0，b)和(－，0)．
(4)在一次函数y=kx+b中，若k＞0时，k的值越大，函数图象与x轴正半轴所成的锐角越大．
（5）问题1：画直线y=－x与y=－x+6的图象，观察直线的增减性与直线y=－x相同吗？
问题2：从问题1中，你得到启发了吗？
k的符号对一次函数y=kx+b的增减性有什么影响？
问题3：k相同时两条直线有怎样的位置关系？
〖点拨方法〗正确画出图像，即能得出结论．
〖参考答案〗
y=－x与y=－x+6的图象如下；

问题1：直线y=－x+6的增减性与直线y=－x增减性相同．
问题2：从问题1中，得到启发是：k的符号相同，函数的增减性就相同．
规律：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小．
问题3：k还决定函数图像的位置．
当k相同时，直线就成了平行直线．
〖设计说明〗能把握重点、调动各种能力帮助学生理解和掌握知识，主要表现在两个方面： （1）得出“画一次函数图象只需描出图象上的任意两点”的结论后，提问学生“你取的是哪两点”，找了四个同学回答出各自的两个点，既让学生知道如何去找图象上的两点也使学生理解了刚刚得出的结论．
（2）在整堂课画图的过程中都采用了分组画的方法，这样做的好处不仅向学生提供了充分从事数学活动的机会、使学生获得广泛的数学活动体验，而且结论的得出也具有说服力且节省了大量的时间．
五、教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
（1）数形结合
（2）图象信息
（3）描点法画图
2．探究题评析：
（1）理解函数图象的意义；
（2）掌握画函数图象的方法（列表、描点、连线）；
（3）通过观察、分析函数图象来获取相关信息；
（4）结合实例培养学生数形结合的思想和读图能力．
六、课堂反馈训练：
1．在同一直角坐标系内作出一次函数y=x+1，y=x+2，y=x+1．
〖参考答案〗

〖讲评策略〗师生讲评
2．已知点(-1，a)和(，b)都在直线y=上，试比较a和b的大小．
〖参考答案〗k＞0时，y随x的增大而增大．
所以-1＜
a＜b
〖讲评策略〗结合图形，直观地得出结论．
〖设计说明〗趁热打铁，使学生能将所学知识及时巩固、应用和提升，从练习中发现问题，从而解决存在的问题，使知识点掌握得牢靠些．
课后提升
一、课后练习题及答案：
1．已知直线y= —x，下列说法错误的是 （ ）
A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限
C 图像必经过（-2 ，1）点 D y随x增大而增大
〖参考答案〗D
2．下列函数中，图像经过原点的为（ ）
A． y＝5x+1 B． y＝－5x－1　　C． y＝－ D． y＝
〖参考答案〗C
3．若一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，则（ ）
A． k＜0，b＜0 B． k＜0，b＞0　　C． k＜0，b≠0 D． k＜0，b为任意数
〖参考答案〗D
4．作出一次函数y=-2x+5的图象
〖参考答案〗列表：
x
…
0
2
…
y=-2x+5
…
5
1
…
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点．
连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线．
〖设计说明〗在学生充分理解的基础上，分析图象信息，解答有关问题．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点就可以了．

二、课后练习题情况反馈：
1．画出函数y=-2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?
(2)当x取何值时，y=0?
(3)当x取何值时，y＞0?
2．画函数y=2x+4图象，用函数y=2x+4的图象，求
(1)方程2x+4=0的解
(2)当x为何值时，函数y=2x+4的值大于等于0；
(3)当-2≤y≤6时，求x的取值范围
〖答案〗1．（1）数中，随着x的增大，y将减小．它的图象从左到右逐渐下降．
（2）当x取1时y=0．
（3）当x＜1时，y＞0．
2．（1）解：直线AB与x轴交点A（－2，0）
从图象上看出：x=－2时，y=0
2x+4=0
∴x=-2是方程2x+4=0的解
（2）解：图象上看出，射线AB在x轴上方，它上面的点的纵坐标都大于或等于零．
y=2x+4≥0
∴x≥－2
（3）解：过点D（0， -2）作平行于x轴的直线DD′，交直线AB于D′（-3，-2），过点C（0，6）作平行于x轴的直线CC′，交直线AB于C′（1，6），线段C′D′上的纵坐标都满足-2≤y≤6，而横坐标满足-3≤x≤1
反馈：渗透数形结合思想，强化函数与方程等联系，感受数学知识整体性，积累解决问题策略，提高解决问题的能力．