八年级数学上册《一次函数与一元一次方程》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
一次函数与一元一次方程
（新授课）
【理论支持】
本节课的重要意义在于：让学生体验数学源于生活，用于生活．培养同学们的应用数学的意识，激发同学们的学习数学的兴趣．同时经历从特殊到一般的数学思维过程，感受数形结合，化归迁移在数学中的应用．体验数量关系和空间形式是描述现实世界的重要手段．因此在教学过程中，给学生创造一个充满宽松、民主和谐的学习环境，让学生感觉和体验知识的形成和发展过程．同时使用多媒体教学，让数学学习变得更容易贴进生活．大量的教学素材使用也让数学更丰富生动．使学生的学习数学兴趣高涨，使学生真正成为学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者．结合本节教学设计，注重以下二方面问题设计：
（一）创情引趣与能力培养：
根据教材内容，在课题引入上，选用教材一次函数第一节的例题．不仅让学生体会数学源于生活，而且让学生感觉到数学就在身边，树立了学生学好数学的信心．通过创设引趣，层层设问，循序渐进，经历从特殊到一般，将一次函数与一元一方程之间的联系逐步呈现在同学们面前，有效的练习铺垫有利于同学们突破本节的重难点，让学生在学习中不断地获得成功体验．为培养学生的数学应用能力和数学思想起到了很好的作用．并且通过对数形巧妙关系的探究与认识，提高了学生思维水平，激发了学习兴趣．
（二）自主探索与合作交流：
动手实践是学生智力技巧的形成与思维转化的重要因素．本节设计过程中，强调在宽松、民主和谐的学习环境中学习．因此让学生自主探索与合作交流始终贯穿整个课堂．让同学们在潜移默化中去获得数学知识和基本的数学思维方法．同时在讨论交流中让不同的人在数学上得到不同的发展，培养了学生团队精神．在自主探索与合作交流中展现了数学知识的形成和应用．体现了“情感、态度、价值观”的课程理念．让学生在数学学习中“学会学习、学会合作、学会生活、学生做人”．
【教学目标】
知识技能
1．理解一次函数与一元一次方程的关系．
2．会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题．
过程方法
学习用函数的面点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想．
情感态度
（1）经历了方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．
（2）培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．

【教学重难点】
重点：一次函数与一元一次方程关系的理解．
难点：对一次函数与一元一次方程关系的理解．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
[活动1]
问题：
1．解方程2x+20=0
2．在坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象．
y
χ
O
y=2x+20
20
-10

思考：直线y=2x+20与x轴交点的横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？
这两个问题是同一个问题吗？
〖答案〗（1）在问题1中，解方程0=2x+20，得x=－10．
（2）解问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x+20=0，得x=－10．因此这两个问题实际上是同一个问题．即这两个问题是同一个问题的两种不同的表达方式．
（3）从“数”的角度看，方程2x+20=0的解得x=－10；从“形”的角度去看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（－10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=－10．
〖设计说明〗直接给出问题，便于学生快速进入思考问题的角色，对理解一元一次方程与一次函数之间的关系，创造条件，减少干扰．
[活动2]
问题：
方程ax+b=0（a，b为常数）与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？
〖答案〗师生共同归纳：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
〖设计说明〗通过上述活动，逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系．
[活动3]
问题：
一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
y
χ
O
y=2x-1220
6
-12
思考：（1）本题的相等关系是什么？
（2）设再过x秒物体速度为17m/s能否列出方程？
（3）如果速度用y表示，那么能否列出函数表达式？
（4）上面不同的解法，各有什么特点？
〖答案〗解法一：设再过x秒物体速度为17m/s．
由题意可知：2x+5=17，
解之得：x=6．
解法二：速度y(m/s)是时间x(s)的函数，
关系式为y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可
通过解方程2x+5=17得到，x=6．
解法三：由2x+5=17可变形得到：
2x-12=0
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的
交点为（6，0）得x=6．
此问题教师应关注：
（1）让学生知道，解法一、二是从“数”的方面考虑；解法三就是从“形”的方面考虑．
（2）对于解法三，学生能否画图解决．
（3）学生是否对比两种解法的优缺点：直接解方程比解法三更简洁．但解法三显示了一次函数与一元一次方程之间的联系．
〖设计说明〗这个题通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是殊途同归．
[活动4]
利用图象求方程6x-3=x+2的解．
思考：
（1）如何将方程变形为一般形式？那条直线与x轴的交点就是原方程的解？
（2）我们可以把方程6x-3=x+2看做函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等？如果这样，原方程的解应是什么？
〖答案〗方法一：
我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．
y
χ
O
y=6x-3
2
-2
2
y=x+2
-2
然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点为（1，0），故可得x=1．
y
χ
O
y=5x-5
1
-5
5
4
3
2
1

方法二：
我们可以把方程6x-3=x+2看做函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标即是方程的解．
y
χ
O
1
y=x-1
-1
〖设计说明〗通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．
[活动5]巩固提高
利用函数图象求出x，
（1）2x-3=x-2
（2）x+3=2x+1
〖答案〗（1）用一条直线与x轴交点求解，
（2）用两条直线的交点求解．
解：（1）把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．
从函数y=x-1的图象与x轴交点坐标上
即可看出方程的解．
由图象上可以看出直线y=x-1与x轴
交点为（1，0）∴x=1．
y
χ
O
y=2x+1
1
-1
1
y=x+3
-1
(2,5)
（2）我们可以把x+3=2x+1看做函数y=x+3与y=2x+1 在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即为直线
y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．
由右图可知交点为（2，5）．
∴x=2．
〖设计说明〗通过这个活动让学生进一步理解
一元一次方程与一次函数的关系．
[活动6]
小结：
本节课我们学习了哪些知识点？具体内容是什么？
〖答案〗师生共同小结：
本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用．
〖设计说明〗通过小结学生可以明确是用哪个知识点解决问题的，进一步理解数形结合解决问题的思想．明确一元一次方程与一次函数的关系．
课后作业：习题14.3第1、2、5、8题．
【板书设计】
一、一次函数与一元一次方程的内在联系
引例归纳
二、内在联系在图象上的反映
例上
三、实际应用
补充例题
四、随堂练习
五、小结
六、作业