北京市九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教案（二） 北师大版 .doc

北京九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教案（二） 北师大版
课 题
二次函数的图像与性质；
学习目标

学习重难点

教学方法
由典型例题入手，逐渐深入，边讲边练；
【相关知识点】
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；
④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

【典型例题】

1．(2011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(　　)

A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
2．(2011·烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(　　)

A．m＝n，k＞h
B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h
D．m＜n，k＝h

3．(2011·宿迁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是(　　)

A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
4．(2011·泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

x
－7
－6
－5
－4
－3
－2
y
－27
－13
－3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为
A．5 B．－3 C．－13 D．－27

5．(2010·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

①b2－4ac>0；
②abc>0；
③8a＋c>0；
④9a＋3b＋c<0.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

6．(2011·济宁)将二次函数y＝x2－4x＋5化成 y＝(x－h)2＋k的形式，则y＝________.

7．(2011·舟山)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______.

8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b的值是________．

9．(2011·日照)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题 ：

①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；
④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)

10．(2011·茂名)给出下列命题：
命题1：点(1,1)是双曲线y＝与抛物线y＝x2的一个交点．
命题2：点(1,2)是双曲线y＝与抛物线y＝2x2的一个交点．
命题3：点(1,3)是双曲线y＝与抛物线y＝3x2的一个交点．
……
请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：________________________________.

11．(2011·东莞)已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．

12．(2011·南京)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

13．(2011·江津)已知双曲线y＝与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3，n)三点．
(1)求双曲线与抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．

【巩固练习】

⒈抛物线y=－x2的顶点坐标为 ；若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ；若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m= ．

2．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为函数y=－x2的图象，是函数y=x2的图象绕 旋转得到的．
⒊抛物线与直线交于（1，），则其解析式为 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 .

⒋已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y= —x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

⒌如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36

⒍对于的图象下列叙述正确的是 （ ）
A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小
C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小

7、已知二次函数的图像经过点A(1,0),并经过一次函数的图像与y轴的交点B，如果B到x轴的距离是3。求一次函数和二次函数的解析式。

8、已知二次函数
（1）用配方法化为的形式
（2）求它的顶点坐标和对称轴方程。
（3）根据图像指出，当x取何值时，y随x值的增大而减小。 （4）当x取何值时，y有最大（小）值，值是多少？
（5）求抛物线和x轴的交点坐标、和y轴的交点坐标。
（6）根据图像指出，当x取何值时。

9、已知抛物线如图1-9-5所示，对称轴是直线。
（1） 确定a、b、c，的符号，
（2） 求证
（3） 当x取何值时，y随x值的增大而减小。

10、已知，如图，直线经过和两点， 它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为，求的值；

11、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且∠COD＝60°，CD=CA。
（Ⅰ）求大圆半径的长；
（Ⅱ）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长.

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学生归纳总结：
1：这堂课你掌握了什么？答：