资源描述
1.1.1菱形的性质
学习目标
了解菱形的基本性质，掌握其特征．
学习难点
掌握菱形的性质．
教学过程
一、复习
平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？
在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导．
二、创设问题情境，导入新知
出示可伸缩的衣帽架实物．
老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？
学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题．
教师板书：菱形．
那究竟什么是菱形呢？
学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
这里的“平行四边形”不能写成“四边形”．“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”．这点务必加以强调．
如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”．
三、学生动手操作
1．画一个△ABC，取BC的中点M，把△ABC绕着M，旋转180°后得一个△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转180°后与原三角形拼成的？
2．画一个等腰△ABC，取底边BC中点M，把△ABC绕着M旋转180°后的三角形与原三角形拼成一个怎样的图形？（菱形）要说明它菱形，就应讲出根据来．请一个同学说出根据：“它是邻边相等的平行四边形”．如图所示．
3．观察图，思考：
（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？
（2）图中有哪些直角三角形？
在学生交流的基础教师板书：
（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形．
（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形．
让学生想一想后继续操作．
菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，那么菱形是不是轴对称图形呢？大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三角形与原三角形拼成的．由于等腰三角形是轴对称图形，所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形．
请大家想一想：
（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形状、大小是否相同？
（2）如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示．
请大家按如下步骤操作：
（1）将一张矩形纸对折再对折；
（2）用尺在折后的矩形的一角上画一条直线；
（3）用剪刀沿着这条线剪下，打开．你发现这是一个什么样的图形．
（如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在哪一角画线，请思考后再动手．）
根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？
教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明．
教师板书：
菱形性质：
（边）：对边平行、四边都相等．
（角）：对角相等．
（对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角．
由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平行四边形不同的特殊性质．上述的菱形性质是两种性质的总和．
同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形，其对称中心，就是它两条对角线的交点．
四、范例分析，加深理解
例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示．
试说明△ABC是等边三角形．
学生观察图形并对照条件，进行思考、交流．
师生共同分析：
要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：
（1）说明AB=BC=AC；
（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；
（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°．
从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，现在只差AB=AC或BC=AC．
要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；
要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．
由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，
故3∠ABC=180°，∠ABC=60°．
那么∠BAD=120°．
由于菱形对角线平分内角．
故∠BAC=60°，
即∠BAC=∠ABC=60°．
那么AB=AC．
这样就可以得到△ABC是等边三角形．
从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．
那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．
这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，第一条途径分析中已获得了．
解：由于四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC，AD∥BC．
即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．
又∠BAD=2∠ABC．
所以3∠ABC=180°，
即∠ABC=60°．
因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
故∠BAC+∠BCA=120°．
那么2∠BAC=120°．
即∠BAC=60°，∠BCA=60°．
因此三角形ABC为等边三角形．
也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以△ABC为等边三角形．
五、随堂练习，巩固新知
教材随堂练习
六、全课小结，提高认识
1．菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？
2．如何识别一个四边形是菱形？
1.1.2菱形的判定
学习目标
1．经历菱形的判定定理的发现过程。
2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。
3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。
4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．
学习难点
菱形的判定定理．
教学过程
(一)、复习引入
1、 提问
菱形的定义和性质。
定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。
性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，
对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角
判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？
定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）
(二)、创设情境，引入新课
1、合作学习：
学生拿出准备好的长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？
剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形．
结论：菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（板书）
(三)、 交流互动，探求新知
1、已知：如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。
求证：□ABCD是菱形
启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD
∴ABCD是菱形（菱形的定义）。
结论：菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？
启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。
结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
3、例2：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F ，求证：四边形AFCE是菱形。
1
启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？
——说明是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC（矩形的定义）
∴∠1＝∠2
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO
∴△AOE≌△COF
∴EO＝FO
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(四)、应用新知，巩固练习
1、 课本随堂练习
2、思考题：如图，△ABC中，∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。
(五)、课堂小结，布置作业
1、本节的主要内容是：
菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：
1）．一组邻边相等的平行四边形．
2）．四条边相等的四边形．
3）.对角线互相垂直的平行四边形．
4）.对角线互相垂直平分的四边形
2、想一想：说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系．
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