八年级数学下册 18.1《勾股定理逆定理的应用（二）》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
18.1勾股定理的逆定理（二）
（课型：新授课）
【理论支持】
前苏联心理学家维果斯基的“最近发展区”理论是建构主义学习理论的重要分支之一，他强调个体的学习是在一定的历史、社会文化背景下进行的，社会可以为个体的学习发展起到重要的支持和促进作用．在成人或比他成熟的个体的帮助下，个体可以实现从独立活动所能达到的现实发展水平到潜在的发展水平的飞跃，“最近发展区”就是这两种发展水平之间的区域．
本节课是继上节课学习了“勾股定理与勾股定理的逆定理”之后继续学习“勾股定理及逆勾股定理逆定理的应用，因此学习本课时内容应建立在已经过的“勾股定理与勾股定理的逆定理”的基础之上，即建立在学生的最近发展区的基础之上．
【教学目标】

知识技能
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识．
数学思考
通过对勾股定理及逆定应用，进一步提高学生解决几何问题的能力及概括能力等．
解决问题
1．数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．
2．分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．
3．作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．
4．优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．
情感态度
1.通过独立分析、解决问题，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心．
2.通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神．
教学重点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
教学难点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
【课时安排】
本节内容共4课时，本课时是第2课时．
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1．三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C． D．
2．已知某三角形的三边长依次为6、8、10，则该三角形的面积是___________．
3．三角形的三边长满足条件，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
〖答案〗
1．A
2．24
3．B
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．本题所选的题目是引导学生通过习题的练习加强对前面所学知识巩固，进一步加深对勾股逆定理的认识．
二、预习思考题及答案
1．若△ABC三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，判断△ABC的形状．

2．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

〖答案〗
（1）直角三角形
（2）36
〖设计说明〗引导学生顺其自然地运用勾股逆定理解决此类问题，增强对学习本课时知识的兴趣，从而使学生有着很愉悦的心情进入本节课的学习．

课内探究
一、创设情境，导入新课
活动1
1、在△ABC中，a、b为两边，c为另一边；若a=6，b=8，则⑴c=________；
⑵若∠c=90°则c= ．问题：你的根据是什么？
2、在△ABC中，如果三边a=5，b=12，c=13，那么你又能得到什么？
你的根据是什么？
〖答案〗
1.⑴2<c<14 根据的是三角形的三边关系．⑵=10勾股定理．
2．△ABC 是直角三角形 根据勾股定理的逆定理．

师生行为：
学生分组讨论、寻找解决问题的方法；教师可参与到学生的讨论中，或引导学生寻找解决问题的途径．
在此活动中，教师应重点关注
（1）学生是否积极地寻求解决问题的方法；
（2）学生能否在小组内交流合作，虚心听取别人意见．
我们先来看一个问题（小黑板展示）：在△ABC中，若边a=6，b=8，则第三边c是多少？问题：你的根据是什么？
学生思考并计算．
师：大家有结果了吗？
生：我的答案是10．
这时有一位学生赶紧反驳道：“不对，题目并没有告诉我们△ABC是直角三角形．”
师：那么应该是多少呢？
生：2<c<14．
师：根据什么？
生：根据的是三角形的三边关系．
生：所以第二小问的答案是c=10．
师：你讲得很好！我们继续往下看．（小黑板展示）
1：在△ABC中，如果三边a=5，b=12，c=13，那么你又能得到什么？
你的根据是什么？问题：你的根据是什么？
生（齐）：△ABC 是直角三角形，根据勾股定理的逆定理．
师：是的，我们这节课就和大家来复习勾股定理的逆定理的有关知识．
教师板演课题．
师：勾股定理的逆定理内容是怎样的？
生：如果三角形的三边长分别为a、b，c满足，那么这个三角形是直角三形．

〖设计说明〗用一般的三角形的三边关系来过渡到直角三角形的三边关系，即为过渡到勾股定理的逆定理的学习埋下伏笔．

二、讲授新课
活动2
1．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”呈沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行的吗？

〖点拨方法〗让学生从已知条件着手理解运用勾股逆定理解决实际问题需要先做什么？再做什么？⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；
〖参考答案〗 45°
2．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．
〖点拨方法〗让学生从已知条件的形式上让学生理解和运用勾股定理的逆定理及方程的应用．
〖参考答案〗 三角形为直角三角形
师生行为：
师：大家试试看下面的两道题目．
学生思考并计算，教师巡视．
师：谁来说说这道题目的答案．
生：很明显，经过计算可知围成这个三角形的三边长分别是24、18、30，这显然是勾股数嘛．从而可知“海天”号沿北偏西45°吗．即西北方向．
师：很好，谁再来说说这道题是如何思考的？
生：先要了解方位角，及方位名词，然后依题意画出图形，最后再根据要求写出解答过程．
简单过程：
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°．
师：以后我们要有已知三角形的三条边，求角时要有运用勾股定理逆定理的意识．
师：我们接下来再看一道题目．
（投影仪投影出题目）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．
师：我来听听大家是如何思考的？谁来说说这个问题的解答？
生：我是这样思考这条题目的．⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形
生：我是设中间的那条边长为x，则较长边长为x+1、最短边长为x-7．然后通过计算，发现这三边长满足勾股定理的逆定理，从而得到这个三角形是直角三角形．
师：你的思路很明确，如果还有不清楚的同学请举手．
简单过程：

解得：
由知三角形为直角三角形．

〖设计说明〗让学生体会图形是描述现实世界的重要手段．通过自己动手画图，在自我探索的过程中，使学生学会运用所学知识解决实际问题的能力，要能从实际问题中建构数学模型

三、巩固、提高
活动3
1．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？

〖参考答案〗能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；
〖讲评策略〗操作投影仪，请两位学生到黑板板演，其他学生在下面做，然后讲评．
2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 ．
〖参考答案〗向正南或正北．
〖讲评策略〗由学生在下面自行完成，并让学生在下面自由说出自己的答案，发现有两种不同的答案，老师在进行点评．
师生行为：
师：我来听听大家是如何思考的？谁来说说这个问题的解答？
生：在下面思考并与同学讨论．
生：开始举手
生：很明显，由题目可知，△BCD和△ACD是两个直角三角形，从而有，因而可得、而因此有由勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形．
生：第2小题答案是向正南．
生：第2小题答案是向正北．
师：他们两个人的答案到底谁是正确的呢？
生：低头沉思，并讨论．
生：他们两个人的答案都不完全正确，应该把他们两个人的答案合起来才是正确的．
师：你是怎样考虑的，能说出你的思考过程式吗？
生：能，我是这样考虑的，由80+60>100，所以小强的行走路线不是在一条直线上，因此小强的行走路线构成了一个三角形的形状．而，进而由勾股定理的逆定理可知行走的路线是一个直角三角形的形状．故第二次行走的路线与第一次行走的路线的夹角成直角．所以小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是正南或正北．
师：你的回答很正确，同学们以后我们思考问题要全面．而不能只考虑问题的一种情况．

〖设计说明〗目的在于应用勾股定理的逆定理解决问题．选取生活中有趣的例子能激发学生的学习兴趣，开阔思维，增强数学的应用意识．

四、课时小结
活动4
1．谈谈本节课有哪些收获？
师生行为：
教师在此活动中应重点关注：
（1）不同层次学生对本节知识的认识程度；
（2）学生独立面对困难和克服困难的能力；
（3）学生畅谈收获，是对知识间联系的感受．
学生以小组为单位，总结勾股定理的使用方法．
生：由勾股定理的逆定理可以判断已知任意三边长的三角形是否直角三角形．
生：必须在已知三角形三条边大小的情况下才能应用勾股定理的逆定理解决问题．
生：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识．
生：我觉得在解决直角三角形问题时还要注意分类讨论和数形结合的思想方法很重要．
〖设计说明〗这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小节活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．

五、课后提升
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 ．

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

3．如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
A
M
E
N
C
B

【答案】
1．6米，8米，10米，直角三角形；
2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直．
3．10时41分
〖设计说明〗在学生充分理解勾股定理及其逆定理的基础上，加强学生对勾股定理和勾股逆定理的综合应用能力的培养．