八年级数学下册 18.1《勾股定理逆定理（第一课时）》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
课题：勾股定理的逆定理（第一课时）
（课型 新授课）
【理论支撑】
义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体。
《数学课程标准》指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。
心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源。在课堂教学中，让学生人人参与、积极动手动脑、合作交流的探究活动，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的。
本节课从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．
教学对象分析：
初二学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
总之，通过本节课的研究，旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验到数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具。
【教学目标】
知识与技能：
1．研究直角三角形的判别条件；
2．熟记一些勾股数；
3．研究勾股定理的逆定理的探究方法。
过程与方法：
用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想。
情感态度与价值观：
1．通过对Rt判别条件的研究，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神。
2．通过介绍有关历史资料，激发解决问题的愿望。

【教学重难点】
教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系。
教学难点：归纳、猜想出命题2的结论。

【教学方法】
启发引导、分组讨论

【教学设计】
课前延伸
（1）总结直角三角形有哪些性质。
（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

〖设计说明〗 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力。
答案：
（1）直角三角形有如下性质：
①有一个角是直角；②两个锐角互余；③两直角边的平方和等于斜边的平方；④在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
（2）有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

课内探究

一、 复旧顾新，导入新课。
问题1：在Rt⊿ABC中∠A 、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，填表
a
b
C
3
4
5
2.5

6.5

7.5
8.5

A

b c

（1）师根据学生回答填表 C a B
（2）生结合图形、叙述定理内容。 （教师板书）

二、诱导尝试，探究新知
问题2：如果以表中数据为边作三角形，则所作三角形是会什么三角形呢？
我们暂且不做结论，先看看古埃及人的做法：（出示一条打结的绳子）谁愿意帮老师给大家演示一下？（师在 举手学生中选择两名学生登台演示）

〖设计说明〗 初二学生已经具备了一定的学习能力，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。因此，教学过程中创设的这一问题情境能够让学生从一般的三角形的三边关系来过渡到直角三角形的三边关系，即为过渡到勾股定理的复习埋下伏笔．

是不是只有3、4、5为边长做出的三角形都是直角三角形的呢？
下面请大家取出纸笔以2.5、6、6.5为边长作三角形（速度快的学生还可以多做一个）
两名学生在黑板上作图，其余学生独立练习，教师提醒注意规范作图步骤，截单位长度时力求准确，与此同时，教师补表一，得表二。
a
b
c

三角形形状
3
4
5

2.5
6
6.5

4
7.5
8.5

教师巡回检查并提醒需要帮助的请举手。
评价板演填表格。
问题3：由此你们能感受到什么结论？
师结合学生回答板书：命题，如果△ABC的三边a、b、c满足那么
∠C=
〖设计说明〗 在复习旧知识的基础上，通过调换命题的条件和结论，过度到本节课的课题。
问题4：勾股定理的题设和结论分别是什么？刚才得到的命题的题设、结论分别是什么？
师结合学生的回答板书：勾股定理的题设是 Rt△ABC中，∠C=，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，结论是；这个命题的题设是△ABC的三边a、b、c满足，结论是∠C=。
我们刚才得到的命题的题设、结论分别是勾股定理的结论、题设，像这样的两个命题我们称它们为互逆命题，你们还能举例说明各命题与逆命题，并说出它们的真假吗？
学生纷纷举例：“两直线平行，内错角相等”的逆命题是：内错角相等，两直线平行；“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：同位角相等，两直线平行；“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行；“等角对等边”的逆命题是：等边对等角
对顶角相等的逆命题是什么？它是真命题吗？
逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题 （学生回答）
看来原命题正确，逆命题不一定正确，勾股定理是真命题，但它的逆命题一定是真命题吗？要知道它的真假，该怎么办？就必须证明！
下面我们一起来解决这个问题。
（转向黑板）刚才两位同学所画两个三角形有什么关系？为什么？
全等，因为三边对应相等，根据“边边边”公理知它们全等（学生回答）
现在请同学们思考：当△ABC的三边长度为任意长，且满足时如何证明 ∠C=？在这里已知什么？
师结合学生回答，板书：已知在△ABC中AB=c,BC=a,AC=b,且，求证：
∠C=
今天我们要学习一种新方法——构造法，我们可以这样考虑： 如果能作一个直角三角形，使其两边与△ABC 的两边相等的话，那么，第三边与△ABC 的第三边会有怎样的关系？
它们相等，因为所作三角形是直角三角形，所以，可以根据勾股定理算出第三边，而△ABC 的三边满足 ，所以可以算出它们相等。
那就请同学们在练习本上做，如果有困难，请自学74页探究。
（一学生上台）画△A’ B’C’，A’C’=b,B’C’=a, ∠C’=,算出A’B’=c=AB,在△A’B’C’与△ABC中，由A’C’=AB, B’C’=BC，A’B’ = AB，可证△A’B’C’≌△ABC，从而得到∠C’=∠C=90°
（师归纳）在这个证明中我们引入了一种新的方法——构造法，就是要证 ∠C=90°，先构造一个直角三角形，通过证明构造三角形与△ABC全等，获得∠C=90°，请大家注意，由于△A’B’C’不是题中给出的，所以各边应用虚线。（边叙述边演示纠正）
通过证明知道这个逆命题是正确的，这就是勾股定理的逆定理（将前面板书的“命题” 擦掉，改成“定理”），两个定理互逆可以称为互逆定理，你们想想，勾股定理逆定理有什么作用。
可以判断三角形是不是直角三角形，如：边长6、8、10的三角形可以确定为它是直角三角形。（学生回答）
〖设计说明〗 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断地尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，可有效地突破本节课的难点。

三、变式训练，巩固新知
下面我们共同探讨几个问题（小黑板出示）
1．判断由线段a 、b、 c组成的三角形是不是直角三角形，为什么？
5，6，7 15、17、8
2．以下列各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A、1，2 B、7，24，25
C．1，， D、3.5，4.5，5.5
〖设计说明〗 通过习题的练习加强对前面所学知识巩固，进一步加深对勾股逆定理的认识。

答案：第一题 不是直角三角形，因为72=49， ，所以不是直角三角形。②是直角三角形，因为，所以它是直角三角形。第二题 D （学生回答）
通过以上练习，我们发现，尽管1题和2题 A、B、C中的三个数均满足较大数的平方等于两较小数的平方和，但有些是整数，如1，2；有些不是整数，像3、4、5，6、8、10，我们把既是整数又满足上述关系的数叫购股数。（小黑板出示3、4、5题）
3、补充完整下列勾股数。
5，12 10、26
答案：①应补充13，②应补充24，（学生回答）
4．一个三角形三边为15，20，25，求最大边上的高
（学生独立练习，教师巡回指导）

〖设计说明〗 引导学生顺其自然地运用勾股逆定理解决此类问题，让学生从已知条件的形式上让学生理解和运用勾股定理的逆定理及方程的应用。
答案：作 △ABC，使 AB=25,BC=15，AC=20,CD⊥AB于D,
∵
∴△ABC是直角三角形，∴BC×AC=CD×AB，解得CD=12
四、全课小结，归类细化
通过本节课学习，你知道了什么？
勾股定理的逆定理，我还知道了运用它可以判断一个三角形是否是直角三角形；要证明一个三角形的角是直角，可以先做一个直角三角形，通过证明所做三角形与原三角形全等得到；知道了古埃及人作直角三角形的方法；知道了什么是勾股数。（学生回答）
〖设计说明〗 让学生养成梳理学习内容、系统整理知识的习惯，可加强教与学的反思，进一步提高教学效果。
（师小结）今天我们又掌握了一个定理（勾股定理逆定理），两个定义（命题、勾股数），三种方法：数形结合法、构造法、直角三角形的又一个判定方法，在以前，判定三角形是否是直角三角形时，要么看两较小角之和是否等于较大角，要么看是否有一角是直角，以后，判断三角形是否直角三角形共有三种方法。

课后提升
必做:75页练习1、2、3、，习题1、2.
选做：习题5.