资源描述
二次函数代数方面的应用
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1． 会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题.
2． 会求二次函数与坐标轴交点、一元二次方程、不等式、一次函数等问题.
过程方法
1. 通过对生活中实际问题的研究，经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会数学知识的现实意义.
2. 会解决有关利润最值等代数问题.
情感
态度
通过解决实际生活中与二次函数有关的代数问题，体会学习数学知识的价值，从而增强学习数学的兴趣.
教学
重点
二次函数在代数方面的应用.
教学
难点
利用二次函数解决代数方面的实际问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
知
识
回
顾
【回顾练习】
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（ ）
（第1题图）
A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a
2.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）
A．m= n B．m= n
C．m= n2 D．m= n2
3.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 ．
观察函数图象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．
【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
二次函数图象与系数的关系．
抛物线与x轴的交点.
综
合
运
用
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：
①abc＞0
②9a+3b+c＜0
③c＞－1
④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－
其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
（第1题图）
2.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。
⑴直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。
⑵设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
⑶某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人。
问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
本题考查了二次函数的应用，，不等式组的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型；注意配方法的求二次函数最值的应用.
二次函数图象与系数的关系，数形结合思想．
二次函数的应用，不等式组的应用.
纠
正
补
偿
某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件. 为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件. 已知该款童装每件成本价40元. 设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数的应用. 建立函数并运用一次函数和二次函数的性质解题是解题的关键.
（1）每星期的销售量=原来的销售量+降价销售而多销售的销售量就可得出函数关系式；
（2）根据销售量×销售单价=利润，建立二次函数，进一步用配方法解决求最大值问题．
（3）列出一元二次方程，根据抛物线W= -30(x-55)2+6750的开口向下可得出当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元，再在 y= -30+2100中，根据k= -30＜0，y随x的增大而减小，求解即可.
一次函数、二次函数的应用.
完
善
整
合
考点梳理：
二次函数的应用包括两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系；
(2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围；
(3)利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似解．
方法总结
常利用二次函数的知识解决以下几类问题：最大利润问题、求几何图形面积(或体积)的最值问题、拱桥问题、运动型几何问题、方案设计问题等.
三、【板书设计】
建立直角坐标系
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
四、 【教后反思】
本节课的教学目标是：继续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题；发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
本 节课只有两个例题，第一个例题是有关距离问题，第二个例题是有关利润的问题。原计划本节课用一节课的时间，但是在实际操作过程中，第一个例题就用了一节课 的时间，所以本节课要用两个课时来上。首先是复习了函数的应用，问学生经过前面对二次函数学习，给他们留下最深刻的是什么？学生马上能想到二次函数的最 值，然后引导学生利用二次函数求只值问题应该注意的事项。1、根据实际问题求出函数解析式，求出自变良取值范围；2、把解析式化成配方式，或者把利用公式 来求出函数的顶点坐标。3、检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。
举例 有最大值还是最小值，什么时候能取到最大或者最小值？变化例子是否有最大或者最小值，什么时候取到最大或者最小值？这样做一方面巩固了最大值的取法，而且还为距离的最值问题做好铺垫。
例题的教学采取多媒体展示，根据提供的信息化出图形，引导学生观察，求距离可以根据勾股定理列出代数式。代数式是，问题转化为怎样求这个代数式的最小值。学生很自然想到，要使代数式的值最小，也就是被开方数要最小，也就想到转化为配方形式 ；解法二，利用公式求出。
这样做就为利润问题列出函数解析式奠定了基础，主要的难点是从表格中提供的信息，总结出单价每增加一元，日均销售良就减少40瓶。根据这一规律，就不难列出y关于x的函数解析式。
引导学生思考，你认为商家要追求最大利润，销售价格是定的越低越好还是越高越好？让学生再次体会数学与生活的的密切联系和数学的应用价值。
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