初三数学走进新运算专题辅导.doc

走进新运算
马丽娜 曹翔亚

我们通常碰到的运算不外乎加、减、乘、除、乘方、开方以及三角函数的运算等，但在数学竞赛中有时会出现一些运算的新“面孔”，我们现将这些陌生的运算介绍给大家，让大家逐渐熟悉它，从中也学到转化思想在数学中的运用，以及特殊值法在解题中所发挥的作用。
例1 若a、b是有理数，定义运算“☆”为：a☆b=，则（1☆3）☆（9☆5）=__________
分析：a☆b是表示一种特殊的运算规则，只要弄清这个规则的意义，并严格按此规则逐步推算，就能最终得出结果，解题时完全要靠临时适应题目的规则、定义将它们转化为一般的问题。
解：1☆9=，9☆5，所以（1☆9）☆（9☆5）☆=。
说明：人们把此类题目称为适应性题目，是考查数学能力的重要手段。

例2 定义运算a*b=（a和b为任意正数）当a、b、c、n为正数时，下列等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：本题可从给定的定义出发，把A、B、C、D各式均化成普通运算的形式，再根据普通运算的法则判断它们的正误，但如果注意到a、b等字母的任意性，另外又考虑到要否定一个结论，只要找到一个反例即可，所以想到可以用特殊值法。
例令，，，，则
A中，，，此时中，故否定A。
B中，，，显然，，又排除B。
C中，，，得出，则C也不正确，只能选D。

例3 “三角”表示运算，“方框”表示运算，则=____________。
解：根据“三角”定义：，另根据“方框”定义：。因此。

例4 用“*”表示一种运算，它的含义是：，如果，那么_______________。
分析：应将关于“*”的运算，依照其规则转化为通常的运算，还要利用已知的“*”运算结果，求出x的值。
解：由，知，解得，于是。
所以。
为使大家能初步掌握此类运算，大家不妨将下列题目练习一番：
1. 设x、y为任意实数，定义运算：，得到下列五个命题：①；②；③；④；⑤，其中正确的命题序号为____________。
2. 对正有理数a、b定义运算☆如下：a☆b=，则☆（8☆8）=_________。
3. 在自然数范围内定义一种运算“*”，使对于不同的a，总有不同的值，且满足：①，②，（a、b、c为自然数，+，·是通常的加，乘运算），则=________。
4. 关于实数a、b，记，则在实数范围内因式分解为___________。
5. 如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x，y，有，则（11*12）=____________。