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第七章：圆
第26课时：圆和圆的位置关系(二)
教学目标：
1、使学生掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦这一性质，
2、通过例题与练习题的教学使学生进一步巩固圆和圆的位置关系及本节所学习的性质．
3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力．
教学重点：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
教学难点：
利用轴对称来证明相交两圆连心线的性质及两圆相交常用的引辅助线的方法是本节课的难点．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了在同一平面内圆和圆的位置关系及相切两圆的连心线的性质．本节课我们在相切两圆连心线的性质的基础上，继续来学习相交两圆连心线的性质．教师出示板书：“7．13圆和圆的位置关系(二)”．如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．那么将相切改成相交，这时连心线又有什么性质呢？教师这样做有意识留给学生一种悬念，提示给学生能否用类比的方法去探索出结论．
二、新课讲解：
为了使学生进一步来学习相交两圆连心线的性质．向学生提出以下几个问题：
(1)在平面内圆和圆有几种位置关系？
(2)要判定圆和圆的位置关系你学过了什么方法？
(3)相切两圆连心线有什么性质？
(4)如果把相切改成相交，那么连心线又有怎样的性质呢？
教师引导学生能够准确地回答上节课所学习的知识点，把本节课所要讲的内容也抛给学生，启发学生去画图——观察——思考——分析——比较——探索出结论．
为了便于思考，教师把学生探索出的结论写在黑板上：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦：
分析：设⊙O1与⊙O2相交于点A、B，O1O2既是⊙O1的对称轴，又是⊙O2的对称轴，所以直线O1O2是⊙O1、⊙O2所组成的图形的对称轴，将图形沿O1O2折叠，上、下两个半圆互相重合，它们的交点重合，所以点A与点B是对称点．这就得到对称点A、B的连线被对称轴O1O2垂直平分．由此可得：
定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
为了使学生能够更好地应用相交两圆连心线的性质和相切两圆连心线的性质，出示两组练习题：
练习一，判断下列语句是否正确：
1．两圆的连心线过切点，两圆一定是内切． ( )
2．相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线． ( )
3．相切两圆的连心线必过切点． ( )
这组题的目的是强化学生对相切两圆、相交两圆的性质的掌握，要求语言叙述准确而规范．
练习二，
(1)图7-99，已知两个等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，求圆心距．
本小题由学生回答，教师概括总结方法．
因为O1O2垂直平分AB，交AB于E，所以可得到由一条半径和弦的一半构成的直角三角形，用勾股定理就得到O2E，从而得到O1O2的长．
(2)书上的例2已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点．⊙O1经过点O2．求∠O1AB的度数．
由于通过分析上题学生已初步掌握构造直角三角形方法求解，对于此题可以说是上一题的特殊情况．教师为了不代替学生，让学生参与到教学活动中，启发学生分析解题思路，指导学生上黑板板演，就把例2做为练习题出现．
(3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．
这时，教师提出怎样证明AB∥CD呢？
由学生来分析证明弦AB∥CD．总结出相交两圆经常引的辅助线是公共弦，有时还可以引连心线．找一名中等生证明这道题，教师把证明过程写在黑板上，做为参考．
证明：连结O1O2，
∵ ⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，
∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．
∴ AB∥CD．
在⊙O2中，∵AB∥CD，
又∵ AB≠CD，
∴ 四边形ABCD是等腰梯形．
接下来投影出示例3
已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？
教师对例3的处理不是直接给出证明，而是给出命题的题设，启发学生探索能得到什么结论．这样做一方面调动学生的积极性和主动性；另一方面考察学生的思维灵活性和深刻性．
由学生猜想的结论出发，进一步引导学生证明你的结论是否正确，最后由教师概括出证明的分析思路．
是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．
证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，
又 ∵ PA⊥MN，
∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，
∴ AC=AD．
∴ AM=AN．
巩固练习：第139页2题．
三、课堂小结：
本节课主要讲了相交两圆连心线垂直两圆的公共弦的性质．
投影出示本节的知识结构图：
本节课学到的方法：
两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．
四、布置作业
教材P．152中A组5、6、7、8、9．
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