八年级数学 第六章 一次函数综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第六章 一次函数综合解说学习目标1、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展同学们的抽象思维能力；经历一次函数的图象及性质的探索过程，在合作与交流活动中发展同学们的合作意识和能力.2、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展同学们的数学应用能力；经历函数图象信息的识别应用过程，发展同学们的形象思维能力.3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系.4、能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并列用它们解决简单的实际问题.学法建议函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容，国际数学课程发展的趋势表明，对变化规律的探索、描述应从低年级非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的.因此，本套教科书对函数的学习不是一蹴而就的，而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.在六年级下学期探索了变量之间关系的基础上，本章继续通过对变量间关系的考察，让同学们初步体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数一次函数.我们希望通过解剖一次这一“麻雀”，使同学们了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.由于已经有了六年级下册的铺垫，本章教材设计中，进一步体现了“问题情境建立数学模型概念、规律、应用与拓展”的模式，让同学们从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时改革了传统教材中先研究特殊的正比例函数，再研究一般的一欠函数的教学顺序，将正比例函数纳入一次函数的研究中去.在具体内容的呈现上，教科书力求为同学们提供生动有趣的问题情境，提供观察、操作、交流、归纳等教学活动，在活动中加深同学们对数学知识的理解，发展同学们的学思思维；在新知的导入上，既注重了与同学们生活实际的联系，又注意了新旧知识的联系；在新旧知识的比较与联系中，促进了同学们新的认知结构的建立与完善，如在“函数”的教材设计中，注意了与六年级下册“变量之间的关系”一章的联系；在“一次函数”的教材设计中，加强了一次函数与一次方程的联系等.此外，教科书注重了同学们形象思维能力的培养，形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养同学们形象思维的一个重要渠道.但在传统教学中，较为强调函数的代数表达式这一“数”的特征，而相对弱化了其图象这一“形”的特征，同学们的识图、用图能力较弱，数形结合的意识较为薄弱.为此，教材中设计了第4节“一次函数图象的应用”，让同学们通过图象获取信息（识图），并解决有关问题，培养同学们的数形结合能力，发展形象思维能力.1.函数教材分析1.学习目标与要求（1）初步掌握函数概念，能判断两个变量的关系是否可看作函数.（2）经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.（3）初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.2.新知识点全解（1）函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量和y，如果给定一个的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是的函数，其中是自变量，y是因变量.函数广泛存在于自然界许多问题中.如：圆的面积的大小变化，依赖于圆的半径大小变化；在一定时间内行程的变化大小依赖于速度的大小变化.注：对函数概念的理解，主要应抓住以下三点：有两个变量一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应例如：y2=，尽管y与之间有一种关系式，但由于0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与它对应，所以y不是x的函数.（2）函数关系式：用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称为函数解析式.例如：y3x就是一个函数解析式.函数解析式在书写时是有顺序性的.例如：y-3x+1表示y是x的函数.若写成x-y+就表示x是y的函数.也就是说：求y与x的函数关系式，必须是只用变量x的代数式表示y，即得到算式左边只含一个变量y，右边是含x的代数式.3.课内问题探究P153（1）根据图6-1填表：t/分012345h/米31137453711P154做一做1.层数n12345物体的总数y1361015P154做一做2.当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s为米、12米、米.给定一个v值，能相应求出s值.典型例题讲解例1：为了适应电化教学的需要，某校新建了阶梯教室，教室的第一排有25个座位，后面每排都比前排多一个座位.若第n排有m个座位，教室共有p个座位.试求：（1）m与n、p与n之间的函数关系式.（2）若教室座位共安排15排，座位总数将达到多少个？点拨第二排比第一排多一个座位，第三排比第一排多两个座位第n排比第一排多（n-1）个座位，n-1+25就是第n排的座位数m.教室座位的图形构成一个梯形，如果把一个座位看成是一个单位，那么第一排的座位数就是这个梯形的上底长，第n排的座位数就是这个梯形的下底长，排数就是这个梯形的高，求座位实质就是求梯形的面积.这样，根据梯形的面积公式就可以写出n与p之间的函数关系式了.解：（1）m25+（n-1）n+24（n0） P.nn（n+49）（n0） （2）当n15时，P15（15+49）480跟踪练习1：某礼堂共有P排座位，第一排有a个座位，后面每排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排数n的函数关系式.例2：如图6-1-1，长方形ABCD中，当点P在边AD上从A向D移动时，有些线段的长度始终保持不变，而有些则发生了变化，有些三角形的面积始终保持不变，而有些则发生变化。（1）试举出在此运动过程中变与不变的两条线段与两个三角形。（2）假设长AD10，AB4，线段AP的长为x,分别写出你所列的变化线段PD的长度y、PCD的面积S与x之间的函数关系式.点拨本题要求在某些运动的变化过程中体会函数的概念.解：（1）PA、PB、PC、PD的长度都是变化的；AB、BC、CD的长度都是不变的；PAB和PCD的面积是变化的，而PBC的面积是不变的. （2）线段PD的长度y与AP的长度x之间的关系为y10-x（0x10）PCD的面积S与AP的长度x之间的关系为S20-2x（0x10）跟踪练习2：如图，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，P不与B、C重合），设PBx，图形APCD的面积y，写出y与x之间函数关系式.过关练习精选 1.选择题（1）在某变化过程中两个变量x和y，下列关系中，一定能称y是x的函数的是（）A.y由x确定出B.给定一个x值就能确定出一个y值C.给定一个x值就能确定出两个y值D.给定两个x值就能确定出一个y值（2）设圆的面积为S，直径为D，则SD2中，下列说法正确的是（ ）A.S是的函数B. S是的函数C.S是D2的函数D.S是D的函数（3）汽车匀速行驶时速度为v，行驶时间是t,行驶距离为s，汽车油箱内剩余测量为Q.下列说法：S是v的函数；S是t的函数S是Q的函数.其中正确的说法个数一共（ ）A. 1个B.2个 C.3个 D.0个（4）已知函数y-2x-3，当y5时xa，当y8时，xb，则a与b的大小关系是（ ）A.ab B.a=b C.ab D.不能确定2.填空题（1）在y中，y（填“是”或“不是”）x的函数，x（填“是”或“不是”）y的函数.（2）正方形边长是10，它的边长减少x后，得到新的正方形的面积为y2，那么y与x之间的函数关系为.（3）在无人售票公共汽车上，无论坐多少站都是一元钱.若某人乘车x站（x12），与所应付钱y（元）之间的函数关系式为.（4）下列每个图形都是由棋子围成的正方形图案，图案每条边（包括两个顶点）上都有n（n2）个棋子，每个图案的棋子总数为S.按下图的排列规律推断S与n之间的关系可以用式子来表示.（如图6-1-2）（6-1-2）3.甲、乙两地相距80km，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地驶往乙地.两人行驶路程y（km）与时间x（h）之间的关系如图6-1-3所示，请你根据图象回答下面问题：（1）谁出发较早？早多少时间？谁到达乙地较早？早多少时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶的路程y（km）与时间x（h）的关系式.（要求写自变量的取值范围）8（4）指出在哪段时间里两车均行驶在途中（不包括端点），在这一时间段里，请你按要求写出关于时间x的方程或不等式.自行车行驶在摩托车之前.自行车与摩托车相遇时.自行车落后于摩托车. 能力升华-新中考指向1.(2005年福建南安)函数y=3x2+2x-1中,自变量取值范围是_.2.(2005年湖南常德)小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（） A B C D3.(2005年北京市中考题) 如下图，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB5，BC3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）4(河北省2005年中考数学试题 )在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 。（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？。答案与提示 跟踪练习1m=bn+a-b 2.y=2- x 过关练习精选1.(1)B (2)E (3)B (4)A2.(1)是;不是 (2)y=(10-x)2 (3)y=1 (4)S=4n (n2)3.(1)自行车,3小时,摩托车,3小时(2)自行车,10km/h;摩托车,40km/h (3)y=10x y=40x (4)3-5小时(A)0x4 (B)x=4 (C)4x0则为增函数（y随x增大而增大）；k0则为减函数（y随x增大而减小）.b的正负性决定一次函数与y轴的交点位置.b0，则一次函数与y轴交点在轴的正半轴；b0，则一次函数与y轴交点在y轴的负半轴.3.课内问题探究P163.做一做（1）做出一次函数y=-2x+5x02y51（2）略P163.议一议（1）是（2）是（3）是一条直线，必过（0，b）和（-，0）点.（4）两个P164.议一议（1）图象是一条过原点的直线（2）两个（0，0）和（1，k）（3）y=3x与x轴正方向所成的锐角最大；直线yx与x轴的正方向所成的锐角最小。P164.做一做P164.议一议（1）y=2x+6与y=5x,y随x的增大而增大.（2）y=-x与y=-x+6，y随x的增大而减小.P164.做一做（1）（2）（3）议一议（1）三条直线平行.（2）（1，6）点（3）y=6x典型例题讲解例1：已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).（1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴上？（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？点拨一次函数的增减性完全由k值决定，位置由k、b共同决定.（1）当4m+10时，y随x的增大而减小；（2）直线与y轴的交点在x轴下方的条件是-（m+1）0；（3）当4m+10且-（m+1）0时，直线位于第二、三、四象限.解：跟踪练习1：已知直线y=(2m-1)x+1-3m.（1）m为何值时，直线经过原点？（2）m为何值时，直线与y轴交于点（0，2）？（3）m为何值时，直线与x轴交于点（，0）？例2：如图6-3-4，某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的关系式，并求出第几天结束，甲、乙两条生产线的总产量相同.（2）在如图所示的坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象.观察图，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量最高.解：（1）由题意得，甲生产线生产时对应的函数关系式是：y=20x+200,乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30令：20x+200=30x，解得x20第20天结束时，两条生产线的总产量相同.（2）由（1）可知，甲生产线所对应的生产函数图象一定经过A(0,200）和B（20，600）两点；乙生产线对应的函数图象一定经过两点O（0，0），B（20，600）.（如图6-3-5）由图象可知：第15天结束时，甲生产线的总产量最高，第25天结束时，乙生产线的总产量最高.跟踪练习2：某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄罐内，准备捐献给希望工程，罐内原来有40元，2个月后有80元.（1）求出罐内钱数y（元）与存钱时间x（月）之间的函数关系式.（2）右直角坐标系中作出函数图象.（3）观察图象回答：按上述方法，该同学经过几个月能存够200元？过关练习精选1.选择题（1）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）A.B. C.D. （2）一次函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（3）下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象的是（）（如图6-3-7）（4）弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图6-3-8所示，由图可知不挂物体时弹簧的长度为（）A.7B.8C.9D.10（5）汽车开始行驶时，油箱内有汽油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余测量Q（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（）（如图6-3-9）2.填空题（1）函数的图象是经过（0，）和（1，）的直线，y随x的增大而.（2）已知函数，当k时，图象过原点；当k= 时，图象过（5，3）；当k的取值满足时，函数y随x的增大而减小.（3）由下列函数图象，确定k、b的符号.（如图6-3-10）（4）已知一次函数的图象过点（0，2），且y随x的增大而减少，则m等于.3.某地长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重要的行李，如果超过规定，则购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，且.(1)画出这个函数图象.（2）旅客最多可免费携带多少行李？能力升华-新中考指向1(2005年江苏海安)现往一塑料圆柱形杯子(重量忽略不计)中匀速注水，已知10秒钟能注满杯子，之后注入的水会溢出，下列四个图象中，能反映从注水开始，15秒内注水时间t与杯底压强P的图象是( )2.( 马尾区2005年数学中考试题)某村的粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量为y（吨），人口数为x，则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）OxyAOxyBOxyDOxyC3.(2005年浙江杭州)已知一次函数,若随着的增大而减小,则该函数图象经过 ( )(A)第一,二,三象限 (B)第一,二,四象限(C)第二,三,四象限 (D)第一,三,四象限4.( 2005年大连市中考题)小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回