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专题六——开放性问题
考情透析：
所谓开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.
题型特征： 一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.
常见题型：(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.
解题策略：(1)条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.
解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.
(2)结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.
解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.
(3)策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.
解策略开放型问题的一般思路处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.
(4)综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.
解综合开放型问题一般思路要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.
类型一 条件开放型
典例1 写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的表达式(表达) .
【解析】 ∵正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过一、三象限,∴k>0.
比如k=1.故答案可以为y=x.【全解】 y=x.
【技法梳理】 解答条件开放题主要根据“执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.
解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
举一反三
1.若函数的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是 .(写出一个即可)
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是 (只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段).
(第2题)【小结】 解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.
类型二 结论开放型
典例2 写出一个解为x≥1的一元一次不等式 .
【全解】 答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x≥1即可.例如x-1≥0.
举一反三
3.如图,OB是☉O的半径,弦AB=OB,直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点,连接PA,则∠PAB的度数可以是 .(写出一个即可)
(第3题)
4.写出一个图象经过点(-1,2)的一次函数的表达式 .
【小结】 结论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.
类型三 策略开放型
典例3 如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)
【解析】
【技法梳理】 策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.
举一反三
5.如图,在44的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( ). A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
(第5题)
【小结】 解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.
类型四 综合开放型
典例4 猜想与证明:
如图(1)摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)(2)
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为 .
(2)如图(2)摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.
【解析】 猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.
(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,
(2)连接AE,AE和EC在同一直线上,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明.
【全解】 猜想:DM=ME.证明如下:如图(1),延长EM交AD于点H,
∵四边形ABCD和CEFG是矩形,∴AD∥EF.∴∠EFM=∠HAM.
又∠FME=∠AMH,FM=AM,在△FME和△AMH中,
∴△FME≌△AMH(ASA).∴HM=EM.
在Rt△HDE中,HM=EM,∴DM=HM=ME.∴DM=ME.
(1)DM=ME (2)如图(2),连接AE,
(1)(2)
∵四边形ABCD和ECGF是正方形,∴∠FCE=45°,∠FCA=45°.∴AE和EC在同一条直线上.
在Rt△ADF中,AM=MF,∴DM=AM=MF.
在Rt△AEF中,AM=MF,∴AM=MF=ME.∴DM=ME.
【技法梳理】 本题属四边形的综合,运用正方形边相等,角相等证明二个三角形全等,从而得出二条线段相等,本题的难点是辅助线的做法,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等.
举一反三
6.△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC.
(1)求证:△BDF∽△CEF;
(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;
(3)已知A,D,F,E四点共圆,已知,求此圆直径.
(第6题)
【小结】 考试时,对于综合开放题,若没有其他要求,可选用简单情型的进行解答.
课后精练：
类型一
1.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 .(添加一个条件即可)
2.如图,已知△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,要使△ABD≌ACE,则只需添加一个适当的条件是 .(只填一个即可)
(第1题)(第2题)
3.如图,直线a,b被直线c所截,若满足 ,则a,b平行.
(第3题)(第4题)
4.如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:AB=AC.
(1)你添加的条件是 ; (2)请写出证明过程
类型二
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数,使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 .
6.写出一个运算结果是a6的算式 .
7.如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: .
(第5题)(第7题)
类型三
8.请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).
9.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0),(1,0).
(1)如图(2),添加棋子C,使四颗棋子A,O,B,C成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使四颗棋子A,O,B,P成为轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.(写出2个即可)
(1)(2)(第9题)
10.课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图(1)是其中的一种方法:
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图(2)中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
(3)如图(3),△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.
(1)(2)(3)(第10题)
类型四
11.已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.
(1)操作发现
如图(1),过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?
(2)猜想论证
将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.
(3)延伸探究
在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4?请说明理由.
(1)(2)(第11题)
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
(第12题)
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