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专题四 归纳猜想问题
考情透析：
归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能力．有利于培养学生思维的深刻性和创造性.
题型特征： 规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.
策略分析：
解题思路：是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”， 解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.
具体做法：
1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；
2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；
3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.
具体策略：
(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.
(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.
(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.
(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.
类型一 数式规律型
【技法梳理】 对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.
举一反三
1.下面是一个某种规律排列的数阵:
1 第1行
2 第2行
2 3 2 第3行
4 3 2 第4行
……
根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示).
2.请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+xn)的结果是( ).
A. 1-xn+1 B. 1+xn+1 C. 1-xn D. 1+xn
【小结】 此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.
类型二 图形变化规律型
典例2 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是 .
【解析】 根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.
【全解】 正方形
【技法梳理】 本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.
举一反三
3.将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为 .
(1)(2)(3) (第3题)
4.如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为 .
(第4题)
5.根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的( ). (第5题)
【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.
类型三 坐标变化规律型
典例3 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为Pn,则点P3的坐标是 ;点P2 014的坐标是 .
【解析】 如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),
当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),
∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.
点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).
【全解】 (8,3) (5,0)
【技法梳理】 根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.
举一反三
6.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( ).
(第6题)
7.如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( ). A. (-2012,2) B. (-2012,-2) C. (-2013,-2) D. (-2013,2)
(第7题)
【小结】 此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.
类型四 数形结合规律型
典例4 如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为 .
故答案为10070.
【技法梳理】 首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.
举一反三
8.如图,已知A1,A2,A3,…,An,An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,An,An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,AnBn+1,BnAn+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,Pn.△A1B1P1,△A2B2P2,△AnBnPn的面积依次记为S1,S2,S3,…,Sn,则Sn为( ).
(第8题)
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为( ).
(第9题)
【小结】 此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.
类型一
1.将一组数,,3,2,,…,3,按下面的方式进行排列:
,,3,2,;3,,2,3,;……
若2的位置记为(1,4),2的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( ).
A. (5,2) B. (5,3) C. (6,2) D. (6,5)
2.观察分析下列数据:0,-,,-3,2,-,3,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是 .(结果需化简)
3.一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为 .
4.观察下列各式:
13=12,
13+23=32,
13+23+33=62,
13+23+33+43=102,……
猜想13+23+33+…+103= .
类型二
5.观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是( ). A. 31 B. 46 C. 51 D. 66
(第5题)
6.如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由 个▲组成.
(第6题)
7.如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有 .
…(第7题)
类型三
8.如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41.
(第8题)
9.如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为( ).
(第9题)
类型四
10.已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△AnBnCn的周长为 .
(1)(2)(3)(第10题)
11.如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为 .
(第11题)
12. (1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)]
(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;
(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?
(1)(2)(3)
(第12题)
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