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专题八—数学存在性问题
中考透视：
随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目。
存在性问题的内涵：
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验.
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论，存在性问题可抽象理解为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设Q存在，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在，此类问题的叙述通常是“是否存在……若存在，请求出……（或证明），若不存在，请说明理由。
存在性问题的种类：
v 定性分类：
1.肯定型存在性问题；
2.否定型的存在性问题。
v 定量分类：
1.数值存在性问题；
2.定值存在性问题；
3.极值存在性问题；
4.点存在性问题；
5.直线存在性问题；
6.三角形存在性问题；
7.平行四边形存在性问题；
8.圆的存在性问题；
9.时间存在性问题；
10.位置存在性问题；
11.变化存在性问题；
12.关联存在性问题。
数学思想：
主要是： 数形结合思想、 分类讨论思想、 特殊到一般的思想
解题技巧：
v 1、从数到形： 根据点的坐标特征， 挖掘发现特殊角或线段比
v 2、从形到数： 找出特殊位置，分段分类讨论
思维模式：
v 顺向思维
v 逆向思维
v 两头架线 中间碰火的思维
【解题策略】 不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.
(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题,进行求解,进而从有解或无解的条件,来判明数学对象是否存在,这是解决此类问题的主要方法.
(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.
类型一 代数方面的存在性问题
例1 已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.
(1)操作发现:
如图(1),过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?
(2)猜想论证:
将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.
(3)延伸探究:
在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x.试探究,是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4?请说明理由.
【全解】(1)如图(1),由题意,得∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,
∴∠EPA=∠FPB.又∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA∽△PFB.
(2)如图(2),∵∠APB=90°,∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB.
当AE=BF时,PA=PB,∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,AE=BF,∴△PEA≌△PFB.∴PA=PB.
(3)如图(2),在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°,
整理,得x2-12x-8=0,解得x=6-2<0(舍去)或x=6+2,
∵x=6+2>6+6=12,且CD=12,∴点P在CD的延长线上,这与点P在线段CD上运动相矛盾.∴不合题意.综上,不存在满足条件的实数x.
举一反三
1. (2016·山东烟台)如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5.
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接AB,在线段DC上是否存在一点E,使△ABE的面积等于5?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(第1题)
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线y=x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
(第2题)
【小结】 考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称——最短路线问题等知识点,还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,难度较大.
类型二 点的存在性问题
(1)直接写出A,D,C三点的坐标;
(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A,B,C,P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)根据抛物线的对称性,可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;再根据三角形的等面积法,在x轴上方,存在两个点,这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离;
(3)根据梯形定义确定点P,如图所示:①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P1与D点重合,即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的表达式,再联立抛物线与直线表达式求出点P2的坐标.
(3)结论:存在.
如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意:
①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1.
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC∥x轴,则点P1与点D重合,
∴P1(-2,0).∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC.∴四边形ABCP1为梯形.
②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2.
∵点A坐标为(4,0),点B坐标为(2,-3),
化简得x2-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6,
∴点P2横坐标为6,代入直线CP2表达式求得纵坐标为6.∴P2(6,6).
∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形ABCP2为梯形.
综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A,B,C,P四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P的坐标为(-2,0)或(6,6).
举一反三
3. (2016·湖北十堰)已知抛物线C1:y=a(x+1)2-2的顶点为A,且经过点B(-2,-1).
(1)求A点的坐标和抛物线C1的表达式;
(2)如图(1),将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求S△OAC∶S△OAD的值;
(3)如图(2),若过P(-4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的表达式;若不存在,说明理由.
【小结】 根据以上分析,我们可以归纳出存在性问题的解决策略:(1)直接求解法:存在性问题探索的结果有两种:一种是存在;另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入手,逐步试探,求出满足条件的对象,使问题得到解决的解法.(2)假设求解法:先假设结论存在,再从已知条件和定义,定理,公理出发,进行演绎推理,若得到和题意相容的结论,则假设成立,结论也存在;否则,假设不成立,结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法,特别是在无限个候选对象中,证明某种数学对象不存在时,逐一淘汰的方法几乎不能实行,更需要使用反证法.
课后精练
类型一
交于A,B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
(第1题)
2.问题探究
(1)如图(1),在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(2)如图(2),在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E,F分别为边AB,AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图(3)的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
类型二
3.如图,已知☉O上依次有A,B,C,D四个点,=,连接AB,AD,BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.
(1)若☉O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;
(3)设G是BD的中点,探索:在☉O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF,并说明PB与AE的位置关系.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
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